§E2.23可算コンパクト性と点列コンパクト性

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位相空間のコンパクト性は、任意の開被覆が有限部分被覆をもつという条件であり、被覆の全体にわたって課される要求である。この形の要求は、被覆を高々可算なものに限って課したときに何が残るのか、また被覆ではなく点列の側から有限性を測ったときに同じ条件が得られるのかを、それ自体では語らない。可算開被覆に対して有限部分被覆を要求する条件を可算コンパクト性といい、任意の点列が収束する部分列をもつことを要求する条件を点列コンパクト性という。この二つは、距離空間の上で考えるかぎり同じ条件の言い換えとして現れるが、その一致は距離という構造が与えるものであって、一般の位相空間では別々の条件である。本記事では、この二つの条件を一般の位相空間に対して定義し、その基本的な性質と互いの関係を扱う。

1 可算開被覆と可算コンパクト性

定義 1.1 (可算開被覆、可算コンパクト空間).(X,O)(X,\mathcal O)を位相空間とする。開被覆(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}であって、添字集合IIが高々可算であるものを、XXの可算開被覆 (countable open cover) という。

XXの任意の可算開被覆が有限部分被覆をもつとき、XXを可算コンパクト空間 (countably compact space) という。

補題 1.2. 位相空間XXが可算コンパクトであるための必要十分条件は、XXの開集合の列(Un)n∈N≥1(U_n)_{n\in\NN}が

X=⋃n∈N≥1UnX=\bigcup_{n\in\NN}U_n

を満たすならば、あるN∈N≥1N\in\NNが存在してX=U1∪⋯∪UNX=U_1\cup\cdots\cup U_Nが成り立つことである。

証明. 必要性を示す。XXを可算コンパクトとし、XXの開集合の列(Un)n∈N≥1(U_n)_{n\in\NN}がX=⋃n∈N≥1UnX=\bigcup_{n\in\NN}U_nを満たすとする。添字集合N≥1\NNは高々可算であるから、(Un)n∈N≥1(U_n)_{n\in\NN}はXXの可算開被覆であり、有限部分集合F⊆N≥1F\subseteq\NNによる有限部分被覆(Un)n∈F(U_n)_{n\in F}をもつ。N=max⁡(F∪{1})N=\max(F\cup\{1\})とおくと、F⊆{1,…,N}F\subseteq\{1,\ldots,N\}であるから

X=⋃n∈FUn⊆U1∪⋯∪UN⊆XX=\bigcup_{n\in F}U_n\subseteq U_1\cup\cdots\cup U_N\subseteq X

となり、X=U1∪⋯∪UNX=U_1\cup\cdots\cup U_Nである。

十分性を示す。条件を仮定し、(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}をXXの可算開被覆とする。I=∅I=\emptysetならばX=∅X=\emptysetであり、空の部分族が有限部分被覆である。I≠∅I\ne\emptysetとする。IIは空でない高々可算な集合であるから、§E1.18 補題 3.6により全射e ⁣:N≥1→Ie\colon\NN\to Iが存在する。Vn=Ue(n)V_n=U_{e(n)}とおくと、(Vn)n∈N≥1(V_n)_{n\in\NN}はXXの開集合の列であり、eeが全射であることから

⋃n∈N≥1Vn=⋃i∈IUi=X\bigcup_{n\in\NN}V_n=\bigcup_{i\in I}U_i=X

である。仮定により、あるN∈N≥1N\in\NNについてX=V1∪⋯∪VNX=V_1\cup\cdots\cup V_Nが成り立つ。I0={e(1),…,e(N)}I_0=\{e(1),\ldots,e(N)\}はIIの有限部分集合であり、(Ui)i∈I0(U_i)_{i\in I_0}はXXを覆う。したがって(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}は有限部分被覆をもつ。▨

定理 1.3. コンパクトな位相空間は可算コンパクトである。

証明.XXをコンパクトな位相空間とし、(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}をXXの可算開被覆とする。可算開被覆は開被覆であるから、XXのコンパクト性により有限部分被覆をもつ。▨

命題 1.4. 位相空間XXがコンパクトであるための必要十分条件は、XXが Lindelöf かつ可算コンパクトであることである。

証明. 必要性を示す。XXがコンパクトならば、§E2.21 命題 1.2により Lindelöf であり、定理 1.3により可算コンパクトである。

十分性を示す。XXを Lindelöf かつ可算コンパクトとし、(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とする。Lindelöf 性により、高々可算な部分集合I0⊆II_0\subseteq Iであって(Ui)i∈I0(U_i)_{i\in I_0}がXXを覆うものが存在する。可算コンパクト性により、この可算開被覆は有限部分被覆をもつ。それはもとの開被覆の有限部分被覆でもあるから、XXはコンパクトである。▨

2 可算有限交差性

定義 2.1 (可算有限交差性).XXを集合とし、(Fi)i∈I(F_i)_{i\in I}をXXの部分集合からなる族とする。添字集合IIが高々可算であり、(Fi)i∈I(F_i)_{i\in I}が有限交差性をもつとき、(Fi)i∈I(F_i)_{i\in I}は可算有限交差性 (countable finite intersection property) をもつという。

定理 2.2. 位相空間XXについて、次の二条件は同値である。

  1. XXは可算コンパクトである。
  2. 空でない高々可算な添字集合IIをもち、可算有限交差性をもつXXの閉集合の族(Fi)i∈I(F_i)_{i\in I}に対して、つねに⋂i∈IFi≠∅\bigcap_{i\in I}F_i\ne\emptysetである。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。XXを可算コンパクトとし、(Fi)i∈I(F_i)_{i\in I}を第二条件に現れる閉集合の族とする。⋂i∈IFi=∅\bigcap_{i\in I}F_i=\emptysetであると仮定する。§E1.2 定理 3.2により

⋃i∈I(X∖Fi)=X∖⋂i∈IFi=X\bigcup_{i\in I}(X\setminus F_i)=X\setminus\bigcap_{i\in I}F_i=X

であるから、(X∖Fi)i∈I(X\setminus F_i)_{i\in I}はXXの可算開被覆である。有限部分集合I0⊆II_0\subseteq Iによる有限部分被覆(X∖Fi)i∈I0(X\setminus F_i)_{i\in I_0}をとる。I0=∅I_0=\emptysetならばX=∅X=\emptysetであり、IIの元iiをとるとFi=∅F_i=\emptysetとなって有限交差性に反する。I0≠∅I_0\ne\emptysetならば、ふたたび§E1.2 定理 3.2により⋂i∈I0Fi=X∖⋃i∈I0(X∖Fi)=∅\bigcap_{i\in I_0}F_i=X\setminus\bigcup_{i\in I_0}(X\setminus F_i)=\emptysetとなり、これも有限交差性に反する。ゆえに⋂i∈IFi≠∅\bigcap_{i\in I}F_i\ne\emptysetである。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。第二条件を仮定し、(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}をXXの可算開被覆とする。I=∅I=\emptysetならばX=∅X=\emptysetであり、空の部分族が有限部分被覆である。I≠∅I\ne\emptysetとし、Fi=X∖UiF_i=X\setminus U_iとおく。族(Fi)i∈I(F_i)_{i\in I}は空でない高々可算な添字集合をもつXXの閉集合の族であり、§E1.2 定理 3.2により

⋂i∈IFi=X∖⋃i∈IUi=∅\bigcap_{i\in I}F_i=X\setminus\bigcup_{i\in I}U_i=\emptyset

である。第二条件により、(Fi)i∈I(F_i)_{i\in I}は可算有限交差性をもたない。すなわち、有限個の添字i1,…,ik∈Ii_1,\ldots,i_k\in Iが存在してFi1∩⋯∩Fik=∅F_{i_1}\cap\cdots\cap F_{i_k}=\emptysetとなる。ふたたび§E1.2 定理 3.2によりX=Ui1∪⋯∪UikX=U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_k}であるから、(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}は有限部分被覆をもつ。▨

系 2.3. 位相空間XXが可算コンパクトであるための必要十分条件は、XXの空でない閉集合の列(Fn)n∈N≥1(F_n)_{n\in\NN}が

F1⊇F2⊇⋯F_1\supseteq F_2\supseteq\cdots

を満たすならば、⋂n∈N≥1Fn≠∅\bigcap_{n\in\NN}F_n\ne\emptysetが成り立つことである。

証明. 必要性を示す。XXを可算コンパクトとし、(Fn)n∈N≥1(F_n)_{n\in\NN}を空でない閉集合の減少列とする。空でない任意の有限集合J⊆N≥1J\subseteq\NNに対して⋂n∈JFn=Fmax⁡J≠∅\bigcap_{n\in J}F_n=F_{\max J}\ne\emptysetであるから、この族は可算有限交差性をもつ。したがって定理 2.2により⋂n∈N≥1Fn≠∅\bigcap_{n\in\NN}F_n\ne\emptysetである。

十分性を示す。条件を仮定し、XXの開集合の列(Un)n∈N≥1(U_n)_{n\in\NN}がX=⋃n∈N≥1UnX=\bigcup_{n\in\NN}U_nを満たすとする。どのN∈N≥1N\in\NNについてもU1∪⋯∪UN≠XU_1\cup\cdots\cup U_N\ne Xであると仮定する。Fn=X∖(U1∪⋯∪Un)F_n=X\setminus(U_1\cup\cdots\cup U_n)とおくと、(Fn)n∈N≥1(F_n)_{n\in\NN}は空でない閉集合の減少列であるから、仮定により⋂n∈N≥1Fn≠∅\bigcap_{n\in\NN}F_n\ne\emptysetである。一方、(Un)n∈N≥1(U_n)_{n\in\NN}がXXを覆うことから⋂n∈N≥1Fn=∅\bigcap_{n\in\NN}F_n=\emptysetである。この矛盾により、あるNNについてX=U1∪⋯∪UNX=U_1\cup\cdots\cup U_Nが成り立ち、補題 1.2によりXXは可算コンパクトである。▨

3 点列コンパクト性

定義 3.1 (点列コンパクト空間).(X,O)(X,\mathcal O)を位相空間とする。XXの任意の点列(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}に対して、狭義単調増加写像ν ⁣:N≥1→N≥1\nu\colon\NN\to\NNと点x∈Xx\in Xが存在して、§E2.13 定義 7.1に従って部分列(xν(k))k∈N≥1(x_{\nu(k)})_{k\in\NN}がxxへ位相収束するとき、XXを点列コンパクト空間 (sequentially compact space) という。

注意 3.2. この定義は、部分列が位相収束する点xxが存在することだけを要求し、xxが一意であることを要求しない。§E2.13 注意 7.3が示すとおり、一般の位相空間では点列の極限は一意とは限らない。

(X,d)(X,d)を距離空間とし、XXに距離から生じる位相を入れる。§E2.13 命題 7.2により、距離による点列の収束と位相収束は一致するから、この場合には上の定義は距離による収束を用いて述べた点列コンパクト性と一致する。

定理 3.3. 点列コンパクトな位相空間は可算コンパクトである。

証明.XXを点列コンパクトな位相空間とし、(Fn)n∈N≥1(F_n)_{n\in\NN}をXXの空でない閉集合の減少列とする。各n∈N≥1n\in\NNに対して点xn∈Fnx_n\in F_nをとる。点列コンパクト性により、狭義単調増加写像ν\nuと点x∈Xx\in Xが存在してxν(k)→xx_{\nu(k)}\to xとなる。

m∈N≥1m\in\NNを任意にとる。ν\nuは狭義単調増加であるからν(k)≥k\nu(k)\ge kであり（§E2.3 補題 2.2）、k≥mk\ge mならばxν(k)∈Fν(k)⊆Fmx_{\nu(k)}\in F_{\nu(k)}\subseteq F_mである。VVをxxの近傍とすると、あるK∈N≥1K\in\NNが存在して、k≥Kk\ge Kを満たすすべてのkkについてxν(k)∈Vx_{\nu(k)}\in Vである。k=max⁡{K,m}k=\max\{K,m\}とおくとxν(k)∈V∩Fmx_{\nu(k)}\in V\cap F_mであるから、V∩Fm≠∅V\cap F_m\ne\emptysetである。したがって§E2.11 命題 7.2 (2)によりx∈Fm‾x\in\overline{F_m}であり、FmF_mが閉集合であることと§E2.11 命題 2.5 (2)によりFm‾=Fm\overline{F_m}=F_mであるから、x∈Fmx\in F_mである。ゆえにx∈⋂n∈N≥1Fnx\in\bigcap_{n\in\NN}F_nであり、系 2.3によりXXは可算コンパクトである。▨

命題 3.4. 第一可算な可算コンパクト空間は点列コンパクトである。したがって、第一可算空間では可算コンパクト性と点列コンパクト性は同値である。

証明.XXを第一可算な可算コンパクト空間とし、XX内の点列(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}をとる。Fm=cl⁡X({xn:n≥m})F_m=\tpcl[X]{\{x_n:n\geq m\}}とおくと、(Fm)m∈N≥1(F_m)_{m\in\NN}は空でない閉集合の減少列である。系 2.3により、x∈⋂m∈N≥1Fmx\in\bigcap_{m\in\NN}F_mをとることができる。

§E2.13 補題 4.3により、xxの減少する可算近傍基(Vk)k∈N≥1(V_k)_{k\in\NN}をとる。n0=0n_0=0とおく。nk−1n_{k-1}を選んだとき、x∈Fnk−1+1x\in F_{n_{k-1}+1}であるから、nk>nk−1n_k>n_{k-1}かつxnk∈Vkx_{n_k}\in V_kとなるnkn_kが存在する。xxの任意の近傍VVに対して、あるk0k_0が存在してVk0⊆VV_{k_0}\subseteq Vとなる。k≥k0k\geq k_0ならばxnk∈Vk⊆Vk0⊆Vx_{n_k}\in V_k\subseteq V_{k_0}\subseteq Vであるから、xnk→xx_{n_k}\to xである。逆向きの含意は定理 3.3による。▨

注意 3.5. Hausdorff 空間では、第一可算性を列型性へ弱めても可算コンパクト性と点列コンパクト性は同値である。列型性の定義とこの拡張の証明は§E2.39 定義 1.1 (2)と§E2.39 定理 7.5を参照されたい。

命題 3.6. 高々可算個の点列コンパクト空間の直積は点列コンパクトである。

証明. 有限個の因子の場合には一点空間を補い、因子を(Xj)j∈N≥1(X_j)_{j\in\NN}と添字付ける。積空間P=∏j∈N≥1XjP=\prod_{j\in\NN}X_j内の点列(zn)n∈N≥1(z_n)_{n\in\NN}をとり、M0=N≥1M_0=\NNとおく。各j∈N≥1j\in\NNについて、Mj−1M_{j-1}を増加順に添字付けた点列(pr⁡j(zn))n∈Mj−1(\pr_j(z_n))_{n\in M_{j-1}}にXjX_jの点列コンパクト性を適用する。これにより、無限部分集合Mj⊆Mj−1M_j\subseteq M_{j-1}と点aj∈Xja_j\in X_jを、(pr⁡j(zn))n∈Mj(\pr_j(z_n))_{n\in M_j}がaja_jに収束するように選ぶことができる。

nk∈Mkn_k\in M_kをnk+1>nkn_{k+1}>n_kとなるように選び、a=(aj)j∈N≥1∈Pa=(a_j)_{j\in\NN}\in Pとおく。jjを固定すると、k≥jk\geq jならばnk∈Mjn_k\in M_jであるから、pr⁡j(znk)→aj\pr_j(z_{n_k})\to a_jである。aaの基本近傍が指定する座標は有限個なので、各座標における収束から、その基本近傍は(znk)(z_{n_k})のある番号以降のすべての項を含む。したがってznk→az_{n_k}\to aである。▨

注意 3.7. 距離空間では、コンパクト性、可算コンパクト性、および点列コンパクト性は互いに同値である。この同値は「コンパクト距離空間」が扱う。一般の位相空間では定理 3.3の逆は成り立たない。2={0,1}2=\{0,1\}に離散位相を入れ、直積2R=∏r∈R22^{\mathbb R}=\prod_{r\in\mathbb R}2に積位相を入れる。22は台集合が有限集合である位相空間であるから§E2.19 例 2.3によりコンパクトであり、§E2.19 定理 8.2により2R2^{\mathbb R}はコンパクトである。したがって定理 1.3により2R2^{\mathbb R}は可算コンパクトであるが、一方で点列コンパクトではない。

4 固有閉写像による継承

可算コンパクト性は、固有な閉写像による逆像へ引き戻される。この一つの定理から、閉部分空間への遺伝と、コンパクトな空間との直積での保存が、写像を選ぶだけで得られる。

定理 4.1.XXを位相空間、YYを可算コンパクト空間、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを閉連続写像とする。任意のy∈Yy\in Yに対してf−1(y)⊂Xf^{-1}(y)\subset Xが可算コンパクトであれば、XXは可算コンパクトである。特に、ffが固有閉写像であれば、XXは可算コンパクトである。

証明.(Un)n∈N≥0(U_n)_{n\in\N}をXXの可算開被覆とし、N≥0\Nの部分集合F⊆N≥0F\subseteq \Nに対してV(F):=Y∖f(X∖⋃n∈FUn)V(F):=Y\setminus f(X\setminus \bigcup_{n\in F}U_n)と置く。ffは閉写像なので、任意のF⊆N≥0F\subseteq \Nに対してV(F)⊆YV(F)\subseteq Yは開である。任意のy∈Yy\in Yに対し、f−1(y)⊆Xf^{-1}(y)\subseteq Xは可算コンパクトなので、f−1(y)f^{-1}(y)の可算開被覆(f−1(y)∩Un)n∈N≥0(f^{-1}(y) \cap U_n)_{n\in\N}に対して有限部分集合Iy⊆N≥0I_y\subseteq \Nが存在してf−1(y)⊆⋃n∈IyUnf^{-1}(y)\subseteq \bigcup_{n\in I_y}U_nが成り立つ。このときy∈V(Iy)y\in V(I_y)はyyの開近傍であり、よってY=⋃y∈YV(Iy)Y=\bigcup_{y\in Y}V(I_y)が成り立つ。

N≥0\Nの有限部分集合全体を[N≥0]<∞[\N]^{<\infty}と書き、写像I∗ ⁣:Y→[N≥0]<∞I_*\colon Y\to[\N]^{<\infty}、y↦Iyy\mapsto I_yを考える。[N≥0]<∞[\N]^{<\infty}は高々可算であるから像I∗(Y)I_*(Y)も高々可算であり、各A∈I∗(Y)A\in I_*(Y)についてIy=AI_y=Aを満たすyyを一つずつ選ぶと、高々可算な部分集合Y0⊆YY_0\subseteq YであってI∗(Y0)=I∗(Y)I_*(Y_0)=I_*(Y)を満たすものが得られる。このときY=⋃y∈Y0V(Iy)Y=\bigcup_{y\in Y_0}V(I_y)が成り立つ。YYは可算コンパクトなので、ある有限部分集合F0⊆Y0F_0\subseteq Y_0が存在し、Y=⋃y∈F0V(Iy)Y = \bigcup_{y\in F_0}V(I_y)が成り立つ。よって、IX:=⋃y∈F0Iy⊆N≥0I_X:=\bigcup_{y\in F_0}I_y\subseteq \Nとおけば、これは有限集合の有限族(Iy)y∈F0(I_y)_{y\in F_0}の和なので有限集合であり、さらに

X=⋃y∈F0f−1(V(Iy))⊆⋃y∈F0⋃n∈IyUn=⋃n∈IXUnX = \bigcup_{y\in F_0}f^{-1}(V(I_y))\subseteq \bigcup_{y\in F_0}\bigcup_{n\in I_y}U_n = \bigcup_{n\in I_X}U_n

となるので(Un)n∈IX(U_n)_{n\in I_X}は(Un)n∈N≥0(U_n)_{n\in\N}の有限部分被覆である。▨

系 4.2.XXを可算コンパクトな位相空間とする。

  1. A⊆XA\subseteq XがXXの閉集合であり、AAに部分空間位相を入れるならば、AAは可算コンパクトである。
  2. KKがコンパクトな位相空間ならば、積空間X×KX\times Kは可算コンパクトである。

証明.(1)を示す。§E2.20 命題 1.2 (3)により包含写像ιA ⁣:A→X\iota_A\colon A\to Xは固有であって閉写像であるから、定理 4.1をιA\iota_Aへ適用するとAAは可算コンパクトである。

(2)を示す。§E2.20 命題 4.5により射影pr⁡X ⁣:X×K→X\operatorname{pr}_X\colon X\times K\to Xは固有であって閉写像であるから、定理 4.1をpr⁡X\operatorname{pr}_Xへ適用するとX×KX\times Kは可算コンパクトである。▨

注意 4.3.定理 4.1は、固有閉写像ではなく、fiber を可算コンパクト空間にまで弱めても成立することが示されているにもかかわらず、可算コンパクト性は有限直積では保たれない。すなわち、可算コンパクトな位相空間XXとYYであって、積位相を入れたX×YX\times Yが可算コンパクトでないものが存在する。このような減少が生じる理由は、X,YX, Yが可算コンパクトであっても、標準射影X×Y→XX\times Y\to Xが閉であるとは限らないためである（補題 4.4も見よ）。実際、閉写像であることを仮定しない場合、離散位相を入れた[0,1][0,1]から標準位相での単位閉区間[0,1][0,1]への恒等写像の各点の fiber はコンパクトであるが、離散位相を入れた[0,1][0,1]は可算コンパクトではない。

補題 4.4.KKをコンパクト Hausdorff 空間とする。このとき、次の主張は同値である：

  1. KKの任意の可算コンパクト部分集合は閉である。
  2. 任意の可算コンパクト空間XXに対し、標準射影pr⁡K ⁣:X×K→K\pr_K\colon X\times K\to Kは閉写像である。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。XXを可算コンパクト空間とし、F⊂X×KF\subset X\times Kを閉集合とする。このとき、系 4.2 (2)よりX×KX\times Kは可算コンパクトであり、さらに系 4.2 (1)よりその閉集合F⊂X×KF\subset X\times Kも可算コンパクトである。よって命題 4.7より、pr⁡K(F)\pr_K(F)は可算コンパクトであり、仮定よりこれはKKの閉部分集合である。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。A⊂KA\subset Kを可算コンパクト部分集合とすると、KKは T2 であるからΔA:={(a,a)∣a∈A}⊂K×A\Delta_A := \{(a,a)\mid a\in A\}\subset K\times Aは閉であり、仮定よりA=pr⁡K(ΔA)⊂KA = \pr_K(\Delta_A)\subset Kは閉である。▨

定義 4.5 (C-閉空間). 任意の可算コンパクト部分集合が閉である位相空間を C-閉空間 (C-closed space) と呼ぶ。

C-閉空間の基本性質については問題 8.4を参照せよ。

命題 4.6.XXを点列コンパクトな位相空間とし、A⊆XA\subseteq XをXXの閉集合として、AAにXXからの部分空間位相を入れる。このときAAは点列コンパクトである。

証明.(an)n∈N≥1(a_n)_{n\in\NN}をAAの点列とし、これをXXの点列とみなす。XXの点列コンパクト性により、狭義単調増加写像ν\nuと点x∈Xx\in Xが存在して、XXにおいてaν(k)→xa_{\nu(k)}\to xとなる。

VVをXXにおけるxxの近傍とすると、あるKKが存在してk≥Kk\ge Kならばaν(k)∈Va_{\nu(k)}\in Vであり、aν(K)∈V∩Aa_{\nu(K)}\in V\cap AであるからV∩A≠∅V\cap A\ne\emptysetである。§E2.11 命題 7.2 (2)によりx∈A‾x\in\overline Aであり、AAが閉集合であることと§E2.11 命題 2.5 (2)によりA‾=A\overline A=Aであるから、x∈Ax\in Aである。

WWをAAにおけるxxの近傍とすると、§E2.11 定義 6.1によりx∈O⊆Wx\in O\subseteq Wを満たすAAの開集合OOが存在し、§E2.12 定義 4.1によりO=U∩AO=U\cap Aを満たすXXの開集合UUが存在する。UUはXXにおけるxxの近傍であるから、あるKKが存在して、k≥Kk\ge Kならばaν(k)∈Ua_{\nu(k)}\in Uである。各項はAAに属するから、k≥Kk\ge Kならばaν(k)∈U∩A=O⊆Wa_{\nu(k)}\in U\cap A=O\subseteq Wである。ゆえにAAにおいてaν(k)→xa_{\nu(k)}\to xであり、AAは点列コンパクトである。▨

命題 4.7.XXを可算コンパクトな位相空間、YYを位相空間とし、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを連続な全射とする。このときYYは可算コンパクトである。

証明は演習とする（問題 8.1）。

5 無限離散閉部分集合と開被覆の Star

命題 5.1.XXを位相空間とし、D⊆XD\subseteq XはXXの集積点（§E2.11 定義 7.1参照）をもたないとする。このとき、次が成り立つ：

  1. DDはXXの閉集合である。
  2. DDに部分空間位相を入れると、その位相は離散位相である。

証明.(1)を示す。x∈D‾x\in\overline Dをとる。仮定によりxxはDDの集積点でないから、§E2.11 定義 7.1によりxxの近傍VVでV∩(D∖{x})=∅V\cap(D\setminus\{x\})=\emptysetを満たすものが存在する。§E2.11 命題 7.2 (2)によりV∩D≠∅V\cap D\neq\emptysetであるからV∩D={x}V\cap D=\{x\}であり、とくにx∈Dx\in Dである。ゆえにD‾⊆D\overline D\subseteq Dであり、§E2.11 命題 2.5 (2)によりDDは閉集合である。

(2)を示す。d∈Dd\in Dをとる。上と同じ理由で、ddの近傍VVでV∩(D∖{d})=∅V\cap(D\setminus\{d\})=\emptysetを満たすものが存在し、d∈Dd\in DとあわせてV∩D={d}V\cap D=\{d\}である。§E2.11 定義 6.1によりd∈U⊆Vd\in U\subseteq Vを満たすXXの開集合UUをとるとU∩D={d}U\cap D=\{d\}であり、§E2.12 定義 4.1により{d}\{d\}は部分空間DDの開集合である。DDの任意の部分集合は一点集合の和集合として書くことができるから、§E2.11 定義 1.1の任意和公理によりDDの開集合である。ゆえに部分空間DDの位相は離散位相である。▨

系 5.2.XXを位相空間とする。このとき、次が成り立つ：

  1. XXが可算コンパクトであれば、任意の可算無限部分集合D⊂XD\subset Xは集積点をもつ。
  2. XXが T1 であるとすれば、XXが可算コンパクトであるための必要十分条件は、XXが無限離散閉部分集合D⊂XD\subset Xを持たないことである。

証明.(1)を示す。もしD⊂XD\subset Xが集積点を持たなければ、命題 5.1よりD⊂XD\subset Xは離散閉部分集合である。このとき系 4.2 (1)よりDDは可算コンパクトであるから、これはDDが無限離散空間であることに反する。

(2)を示す。必要性は(1)より従うので十分性を示す。(Fn)n∈N≥1(F_n)_{n\in \NN}をXXの空でない閉部分集合の減少列とする。系 2.3より、⋂n∈N≥1Fn≠∅\bigcap_{n\in \NN}F_n\neq \emptysetを示せば良い。任意のn∈N≥1n\in \NNに対してFn⊋Fn+1F_n\supsetneq F_{n+1}と仮定しても一般性を失わない。各n∈N≥1n\in\NNに対して点xn∈Fn∖Fn+1x_n\in F_n\setminus F_{n+1}を取り、D:={xn∣n∈N≥1}⊂XD:=\{x_n\mid n\in\NN\}\subset Xとおけば、DDは無限集合である。XXは T1 空間なのでDDも T1 空間であり、さらに任意のn∈N≥1n\in \NNに対してDn:={xk∣k≥n}=D∩Fn⊂DD_n:=\{x_k\mid k\geq n\} = D\cap F_n\subset Dは閉集合なので、DDは離散空間である。よって仮定よりD⊂XD\subset Xは閉でない。集積点x∈D‾∖Dx\in\overline{D}\setminus Dをとれば、任意のn∈N≥1n\in \NNに対してx∈Dn‾⊂Fnx\in \overline{D_n}\subset F_nを満たすので、x∈⋂n∈N≥1Fn≠∅x\in \bigcap_{n\in\NN}F_n\neq \emptysetが成り立つ。▨

6 順序数区間

定理 6.1.ω1\omega_1は点列コンパクトであるが、コンパクトではない。

証明.(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}をω1\omega_1の点列とし、各n∈N≥1n\in\NNに対してTn={xk∣k≥n}T_n=\{x_k\mid k\ge n\}とおく。T1T_1は高々可算な集合N≥1\NNの像であるから§E1.18 補題 3.5により高々可算であり、§E2.17 補題 4.2によりT1⊆[0,δ]T_1\subseteq[0,\delta]を満たすδ<ω1\delta<\omega_1が存在する。各TnT_nは順序数δ+1\delta+1の空でない部分集合であるから、§E1.16 定義 2.1により最小元をもつ。それをγn\gamma_nとおく。Tn+1⊆TnT_{n+1}\subseteq T_nであるからγn≤γn+1\gamma_n\le\gamma_{n+1}であり、列(γn)n∈N≥1(\gamma_n)_{n\in\NN}は非減少である。各γn\gamma_nはT1T_1の元であるからγn≤δ\gamma_n\le\deltaである。§E1.16 補題 4.4によりγ=⋃{γn∣n∈N≥1}\gamma=\bigcup\{\gamma_n\mid n\in\NN\}は{γn∣n∈N≥1}\{\gamma_n\mid n\in\NN\}の最小上界であり、γ≤δ<ω1\gamma\le\delta<\omega_1であるからγ∈ω1\gamma\in\omega_1である。

m1=1m_1=1とおく。γm1\gamma_{m_1}はTm1T_{m_1}の元であるからxk=γm1x_k=\gamma_{m_1}を満たすk≥m1k\ge m_1が存在し、その最小のものをk1k_1とおく。kik_iを定めた後、mi+1=ki+1m_{i+1}=k_i+1とおくと、γmi+1\gamma_{m_{i+1}}はTmi+1T_{m_{i+1}}の元であるからxk=γmi+1x_k=\gamma_{m_{i+1}}を満たすk≥mi+1k\ge m_{i+1}が存在し、その最小のものをki+1k_{i+1}とおく。各iiについてki≥mik_i\ge m_iである。したがってmi+1=ki+1>ki≥mim_{i+1}=k_i+1>k_i\ge m_iであり、ki+1≥mi+1>kik_{i+1}\ge m_{i+1}>k_iであるから、(mi)i∈N≥1(m_i)_{i\in\NN}と(ki)i∈N≥1(k_i)_{i\in\NN}はともに狭義単調増加である。ゆえに(xki)i∈N≥1(x_{k_i})_{i\in\NN}は(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}の部分列であり、xki=γmix_{k_i}=\gamma_{m_i}である。列(γn)(\gamma_n)が非減少であることと(mi)(m_i)が狭義単調増加であることから、(γmi)i∈N≥1(\gamma_{m_i})_{i\in\NN}は非減少である。

{γmi∣i∈N≥1}\{\gamma_{m_i}\mid i\in\NN\}の最小上界もγ\gammaである。実際、(mi)(m_i)が狭義単調増加であることから、任意のnnに対してmi≥nm_i\ge nを満たすiiが存在し、γmi≥γn\gamma_{m_i}\ge\gamma_nである。したがって{γmi∣i}\{\gamma_{m_i}\mid i\}の上界は{γn∣n}\{\gamma_n\mid n\}の上界でもあり、両者の最小上界は一致する。とくに各iiについてγmi≤γ\gamma_{m_i}\le\gammaであるから、γmi0=γ\gamma_{m_{i_0}}=\gammaを満たすi0i_0が存在するか、すべてのiiについてγmi<γ\gamma_{m_i}<\gammaであるかのいずれかである。

γmi0=γ\gamma_{m_{i_0}}=\gammaを満たすi0i_0が存在する場合を考える。i≥i0i\ge i_0ならば、非減少性からγ≤γmi\gamma\le\gamma_{m_i}であり、γ\gammaが上界であることからγmi≤γ\gamma_{m_i}\le\gammaであるからxki=γx_{k_i}=\gammaである。γ\gammaの任意の近傍はγ\gammaを含むから、i≥i0i\ge i_0を満たすすべてのiiについてxkix_{k_i}はその近傍に属し、xki→γx_{k_i}\to\gammaである。

すべてのiiについてγmi<γ\gamma_{m_i}<\gammaである場合を考える。γ>γm1≥0\gamma>\gamma_{m_1}\ge0であるからγ≠0\gamma\ne0である。γ=η+1\gamma=\eta+1であると仮定する。η<γ\eta<\gammaでありγ\gammaは最小上界であるから、η\etaは{γmi∣i}\{\gamma_{m_i}\mid i\}の上界でなく、γmi>η\gamma_{m_i}>\etaすなわちγmi≥η+1=γ\gamma_{m_i}\ge\eta+1=\gammaを満たすiiが存在する。これはγmi<γ\gamma_{m_i}<\gammaに反する。

§E2.17 命題 4.3により、η<γ\eta<\gammaを満たすη\etaに対する(η,γ](\eta,\gamma]の全体は、ω1\omega_1におけるγ\gammaの近傍基である。VVをγ\gammaの近傍とすると、(η,γ]⊆V(\eta,\gamma]\subseteq Vを満たすη<γ\eta<\gammaが存在する。γ\gammaが最小上界であることからγmi0>η\gamma_{m_{i_0}}>\etaを満たすi0i_0が存在し、i≥i0i\ge i_0ならばη<γmi0≤γmi≤γ\eta<\gamma_{m_{i_0}}\le\gamma_{m_i}\le\gammaであるからxki=γmi∈(η,γ]⊆Vx_{k_i}=\gamma_{m_i}\in(\eta,\gamma]\subseteq Vである。ゆえにxki→γx_{k_i}\to\gammaである。

いずれの場合にも(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}は位相収束する部分列をもつので、ω1\omega_1は点列コンパクトである。ω1\omega_1がコンパクトでないことは§E2.19 定理 7.2による。▨

系 6.2.ω+1\omega+1、ω1\omega_1、ω1+1\omega_1+1はいずれも可算コンパクトである。

証明.ω+1\omega+1とω1+1\omega_1+1は§E2.19 定理 7.2によりコンパクトであるから、定理 1.3により可算コンパクトである。ω1\omega_1は定理 6.1により点列コンパクトであるから、定理 3.3により可算コンパクトである。▨

注意 6.3.系 6.2によりω1\omega_1は可算コンパクトであり、§E2.21 系 5.2によりω1\omega_1は Lindelöf でない。したがって、可算コンパクトな位相空間が Lindelöf であるとは限らない。

系 6.4.ω+1\omega+1とω1+1\omega_1+1について、次が成り立つ。

  1. ω+1\omega+1は点列コンパクトである。
  2. ω1+1\omega_1+1は点列コンパクトである。

証明.(1)を示す。ω1∖(ω+1)={x∈ω1∣ω<x}\omega_1\setminus(\omega+1)=\{x\in\omega_1\mid\omega<x\}である。ω<x<ω1\omega<x<\omega_1を満たすxxをとると、§E1.22 補題 3.1によりx+1<ω1x+1<\omega_1であり、基本開集合(ω,x+1)(\omega,x+1)は§E2.17 定理 1.2によりω1\omega_1の開集合であってx∈(ω,x+1)⊆ω1∖(ω+1)x\in(\omega,x+1)\subseteq\omega_1\setminus(\omega+1)を満たす。したがって§E2.11 補題 2.6によりω1∖(ω+1)\omega_1\setminus(\omega+1)は開集合であり、ω+1\omega+1はω1\omega_1の閉集合である。§E2.17 注意 4.1により、ω+1\omega+1がω1\omega_1から受ける部分空間位相はω+1\omega+1の順序位相と一致する。ゆえに定理 6.1と命題 4.6により、ω+1\omega+1は点列コンパクトである。

(2)を示す。(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}をω1+1\omega_1+1の点列とする。xn=ω1x_n=\omega_1を満たすnnが無限個あるとする。k1k_1をそのようなnnの最小のものとし、kik_iを定めた後、xn=ω1x_n=\omega_1かつn>kin>k_iを満たすnnの最小のものをki+1k_{i+1}とすると、(xki)i∈N≥1(x_{k_i})_{i\in\NN}は値ω1\omega_1の定数列でありω1\omega_1へ位相収束する。

xn=ω1x_n=\omega_1を満たすnnが有限個であるとする。あるNNが存在して、n≥Nn\ge Nならばxn∈ω1x_n\in\omega_1である。yk=xN+k−1y_k=x_{N+k-1}とおくと(yk)k∈N≥1(y_k)_{k\in\NN}はω1\omega_1の点列であるから、定理 6.1により、狭義単調増加写像ν\nuと点x∈ω1x\in\omega_1が存在して、ω1\omega_1においてyν(i)→xy_{\nu(i)}\to xとなる。§E2.17 注意 4.1によりω1\omega_1がω1+1\omega_1+1から受ける部分空間位相はω1\omega_1の順序位相と一致するから、ω1+1\omega_1+1におけるxxの近傍VVに対してV∩ω1V\cap\omega_1はω1\omega_1におけるxxの近傍であり、ある番号から先の項がV∩ω1⊆VV\cap\omega_1\subseteq Vに属する。したがってω1+1\omega_1+1においてもyν(i)→xy_{\nu(i)}\to xである。k↦N+k−1k\mapsto N+k-1とν\nuの合成は狭義単調増加であるから、(yν(i))i∈N≥1(y_{\nu(i)})_{i\in\NN}は(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}の部分列である。ゆえにω1+1\omega_1+1は点列コンパクトである。▨

7 例

例 7.1.X=N≥1X=\NNに離散位相を入れる。各n∈N≥1n\in\NNに対してUn={1,…,n}U_n=\{1,\ldots,n\}とおくと、(Un)n∈N≥1(U_n)_{n\in\NN}はXXの開集合の列であってX=⋃n∈N≥1UnX=\bigcup_{n\in\NN}U_nを満たす。一方、任意のN∈N≥1N\in\NNについてU1∪⋯∪UN=UN≠XU_1\cup\cdots\cup U_N=U_N\ne Xである。したがって補題 1.2によりXXは可算コンパクトでない。定理 3.3の対偶により、XXは点列コンパクトでもない。

例 7.2.κ\kappaを非可算無限基数とし、(Xλ)λ<κ(X_\lambda)_{\lambda < \kappa}を空でない位相空間の族とする。x:=(xλ)λ<κ∈∏λ<κXλx := (x_\lambda)_{\lambda < \kappa}\in \prod_{\lambda < \kappa}X_\lambdaを一つとり、

Σ(x):={y∈∏λ<κXλ:{λ<κ:yλ≠xλ} は高々可算}\Sigma(x) := \left\{y\in\prod_{\lambda<\kappa}X_\lambda:\{\lambda<\kappa:y_\lambda\ne x_\lambda\}\text{ は高々可算}\right\}

と置く。（これはΣ\Sigma-積と呼ばれる空間であり、本単元の後続記事にて詳しくその性質を調べる。§E2.41 定義 2.1参照。）

このとき、次が成り立つ：

  1. 任意のλ<κ\lambda < \kappaに対してXλX_\lambdaがコンパクトであれば、Σ(x)\Sigma(x)も可算コンパクトである。
  2. 任意のλ<κ\lambda < \kappaに対してXλX_\lambdaが点列コンパクトであれば、Σ(x)\Sigma(x)も点列コンパクトである。

証明.Σ(x)\Sigma(x)内の点列(yn)n∈N≥1(y_n)_{n\in\NN}に対して、

J=⋃n∈N≥1{λ<κ:(yn)λ≠xλ}J=\bigcup_{n\in\NN}\{\lambda<\kappa:(y_n)_\lambda\ne x_\lambda\}

は高々可算である。JJの外の座標をxxと等しくする部分空間

KJ={y∈∏λ<κXλ:yλ=xλ (λ∉J)}K_J=\{y\in\textstyle\prod_{\lambda<\kappa}X_\lambda:y_\lambda=x_\lambda\ (\lambda\notin J)\}

はΣ(x)\Sigma(x)に含まれ、各yny_nはKJK_Jに属する。§E2.14 補題 1.7 (5)の制限射影と切断により、KJK_Jは∏λ∈JXλ\prod_{\lambda\in J}X_\lambdaと同相である。

(1)を示す。(Fn)n∈N≥1(F_n)_{n\in\NN}をΣ(x)\Sigma(x)の空でない閉集合の減少列とし、各nnについてyn∈Fny_n\in F_nをとる。この点列から上のJJとKJK_Jを定めると、§E2.19 定理 8.2によりKJK_Jはコンパクトである。各Fn∩KJF_n\cap K_JはKJK_Jの閉集合であってyny_nを含み、これらは減少列をなす。§E2.19 系 3.3により⋂n∈N≥1(Fn∩KJ)≠∅\bigcap_{n\in\NN}(F_n\cap K_J)\ne\emptysetであり、したがって⋂n∈N≥1Fn≠∅\bigcap_{n\in\NN}F_n\ne\emptysetである。系 2.3によりΣ(x)\Sigma(x)は可算コンパクトである。

(2)を示す。Σ(x)\Sigma(x)内の任意の点列から上のJJとKJK_Jを定めると、命題 3.6によりKJK_Jは点列コンパクトである。したがって、この点列はKJK_J内で収束する部分列をもち、その部分列はΣ(x)\Sigma(x)内でも同じ点へ収束する。▨

8 演習

問題 8.1 (連続像).命題 4.7の証明を完成させよ。

解答.

(Vi)i∈I(V_i)_{i\in I}をYYの可算開被覆とする。§E2.12 定義 1.1により各f−1(Vi)f^{-1}(V_i)はXXの開集合であり、(Vi)i∈I(V_i)_{i\in I}がYYを覆うことから

⋃i∈If−1(Vi)=f−1(⋃i∈IVi)=f−1(Y)=X\bigcup_{i\in I}f^{-1}(V_i)=f^{-1}\Bigl(\bigcup_{i\in I}V_i\Bigr)=f^{-1}(Y)=X

である。添字集合IIは高々可算であるから、(f−1(Vi))i∈I(f^{-1}(V_i))_{i\in I}はXXの可算開被覆である。XXの可算コンパクト性により、有限部分集合I0⊆II_0\subseteq Iが存在してX=⋃i∈I0f−1(Vi)X=\bigcup_{i\in I_0}f^{-1}(V_i)となる。

y∈Yy\in Yとする。ffは全射であるからf(x)=yf(x)=yを満たすx∈Xx\in Xが存在し、x∈f−1(Vi)x\in f^{-1}(V_i)を満たすi∈I0i\in I_0をとるとy=f(x)∈Viy=f(x)\in V_iである。ゆえにY=⋃i∈I0ViY=\bigcup_{i\in I_0}V_iであり、(Vi)i∈I(V_i)_{i\in I}は有限部分被覆をもつ。▨

問題 8.2 (無限離散距離空間).N≥0\Nに離散距離δ\deltaを入れ、距離から生じる位相を入れる。次を示せ。

  1. この位相は離散位相である。
  2. N≥0\Nは可算コンパクトでない。
  3. 部分空間A⊆N≥0A\subseteq\Nが可算コンパクトであることと、AAが有限集合であることは同値である。
解答.

§E2.1 命題 2.4により、0<r≤10<r\le1ならばBδ(x,r)={x}B_\delta(x,r)=\{x\}である。したがって、任意の部分集合U⊆N≥0U\subseteq\Nと任意のx∈Ux\in Uに対してBδ(x,1)={x}⊆UB_\delta(x,1)=\{x\}\subseteq Uが成り立ち、UUは距離から生じる位相の開集合である。ゆえにこの位相は離散位相である。

集合A=N≥0A=\N自身は可算無限部分集合である。x∈N≥0x\in\Nに対して{x}\{x\}はxxの近傍であり{x}∩(A∖{x})=∅\{x\}\cap(A\setminus\{x\})=\emptysetであるから、xxはAAの集積点でない。ゆえにAAは集積点をもたず、系 5.2 (1)の対偶によりN≥0\Nは可算コンパクトでない。

A⊆N≥0A\subseteq\Nが有限であるとする。AAは台集合が有限集合である位相空間であるから§E2.19 例 2.3によりコンパクトであり、定理 1.3により可算コンパクトである。AAが無限であるとする。§E2.12 定義 4.1によりAAの部分空間位相は離散位相である。A⊆N≥0⊆Z≥0A\subseteq\N\subseteq\mathbb Z_{\ge0}であり包含写像A→Z≥0A\to\mathbb Z_{\ge0}は単射であるから、§E1.18 定義 1.2によりAAは高々可算であり、無限であるから§E1.18 定理 3.3により可算無限である。上と同じ理由でAA自身はAAの中に集積点をもたないから、系 5.2 (1)の対偶によりAAは可算コンパクトでない。▨

問題 8.3 (ω1\omega_1へ位相収束する点列).ω1\omega_1の点からなる点列で、ω1+1\omega_1+1において点ω1\omega_1へ位相収束するものが存在しないことを示せ。また、点ω1\omega_1がω1+1\omega_1+1における部分集合ω1\omega_1の閉包に属することを示せ。この二つと§E2.13 定理 7.4からω1+1\omega_1+1について何が従うかを述べよ。

解答.

ω1\omega_1の点列(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}がω1+1\omega_1+1において点ω1\omega_1へ位相収束すると仮定する。値域A={xn∣n∈N≥1}A=\{x_n\mid n\in\NN\}は§E1.18 補題 3.5により高々可算であるから、§E2.17 補題 4.2によりA⊆[0,β]A\subseteq[0,\beta]を満たすβ<ω1\beta<\omega_1が存在する。§E2.17 命題 4.3によりV=(β,ω1]V=(\beta,\omega_1]はω1+1\omega_1+1における点ω1\omega_1の近傍であり、すべてのnnについてxn≤βx_n\le\betaであるからxn∉Vx_n\notin Vである。§E2.13 定義 7.1はある番号から先のすべての項がVVに属することを要求するから、これは矛盾である。

γ<ω1\gamma<\omega_1に対して§E1.22 補題 3.1によりγ+1<ω1\gamma+1<\omega_1であり、§E2.17 命題 4.3が与える近傍基の元(γ,ω1](\gamma,\omega_1]はγ+1∈ω1\gamma+1\in\omega_1を含む。したがってω1+1\omega_1+1における点ω1\omega_1の任意の近傍は部分集合ω1\omega_1と交わり、§E2.11 命題 7.2 (2)により点ω1\omega_1はω1+1\omega_1+1における部分集合ω1\omega_1の閉包に属する。

§E2.13 定理 7.4は、第一可算空間では閉包の点をつねにその集合の点列の極限として得ることができることを述べる。ω1+1\omega_1+1では点ω1\omega_1が部分集合ω1\omega_1の閉包に属する一方、ω1\omega_1の点列の極限として点ω1\omega_1を得ることができない。したがってω1+1\omega_1+1は第一可算ではない。▨

問題 8.4. C-閉空間（定義 4.5参照）に関して以下の問いに答えなさい：

  1. C-閉空間XXの任意の部分空間は C-閉空間であることを示せ。
  2. O1⊂O2\mathcal{O}_1\subset \mathcal{O}_2を同じ集合XX上の二つの位相とする。このとき、(X,O1)(X, \mathcal{O}_1)が C-閉空間であれば(X,O2)(X, \mathcal{O}_2)も C-閉空間であることを示せ。
  3. (Xi)i∈I(X_i)_{i\in I}を C-閉空間の族とするとき、∐i∈IXi\coprod_{i\in I}X_iは C-閉であることを示せ。
  4. C-閉空間XXと完全写像X→YX\to Yに対し、YYは C-閉空間であることを示せ。
  5. ω1+1\omega_1+1は C-閉でない。特に自明な完全写像ω1+1→{0}\omega_1+1\to \{0\}は C-閉でない空間から C-閉な空間への完全写像である。
  6. 任意の部分空間が Lindelöf である Hausdorff 空間は C-閉であることを示せ。
  7. (Xn)n∈ω(X_n)_{n\in \omega}を可算個の C-閉な T3 空間の族とするとき、∏n∈ωXn\prod_{n\in\omega}X_nは C-閉な T3 空間であることを示せ。
  8. κ\kappaを非可算無限基数とし、(Xλ)λ<κ(X_\lambda)_{\lambda < \kappa}を空でないコンパクト空間の族とする。XλX_\lambdaが2点以上をもつ添字λ\lambdaが非可算個存在するとき、∏λ<κXλ\prod_{\lambda < \kappa}X_\lambdaは C-閉でないことを示せ。
解答.

(1)を示す。S⊆XS\subseteq Xとし、A⊆SA\subseteq Sを可算コンパクト部分集合とする。包含写像S→XS\to Xは連続なので、命題 4.7によりAAはXXの可算コンパクト部分集合でもある。XXの C-閉性からAAはXXで閉であり、したがってSSでも閉である。

(2)を示す。恒等写像(X,O2)→(X,O1)(X,\mathcal O_2)\to(X,\mathcal O_1)は連続であるから、O2\mathcal O_2に関して可算コンパクトな部分集合AAはO1\mathcal O_1に関しても可算コンパクトである。仮定によりX∖A∈O1⊆O2X\setminus A\in\mathcal O_1\subseteq\mathcal O_2となるので、AAはO2\mathcal O_2に関して閉である。

(3)を示す。S=∐i∈IXiS=\coprod_{i\in I}X_iとし、各XiX_iをSSの部分空間と同一視する。A⊆SA\subseteq Sが可算コンパクトならば、§E2.12 命題 7.2 (2)により各XiX_iはSSで閉であるから、A∩XiA\cap X_iはAAで閉であり可算コンパクトである。XiX_iの C-閉性によりA∩XiA\cap X_iはXiX_iで閉である。§E2.12 命題 7.2 (1)によりAAはSSで閉である。

(4)を示す。f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを完全写像とし、A⊆YA\subseteq Yを可算コンパクト部分集合とする。§E2.20 命題 2.5によりf−1(A)→Af^{-1}(A)\to Aは完全写像であるから、定理 4.1によりf−1(A)f^{-1}(A)は可算コンパクトである。XXの C-閉性からf−1(A)f^{-1}(A)はXXで閉である。ffは全射閉写像なので、A=f(f−1(A))A=f(f^{-1}(A))はYYで閉である。

(5)を示す。定理 6.1と定理 3.3により、ω1\omega_1は可算コンパクトである。問題 8.3により、点ω1\omega_1はω1+1\omega_1+1における部分集合ω1\omega_1の閉包に属するので、ω1\omega_1はω1+1\omega_1+1で閉でない。したがってω1+1\omega_1+1は C-閉でない。一点空間{0}\{0\}の部分集合はすべて閉なので、{0}\{0\}は C-閉である。定値写像ω1+1→{0}\omega_1+1\to\{0\}は連続な全射閉写像であり、ω1+1\omega_1+1がコンパクトであることから固有でもある。ゆえに完全写像である。

(6)を示す。XXを仮定を満たす空間とし、A⊆XA\subseteq Xを可算コンパクト部分集合とする。AAは Lindelöf でもあるから、命題 1.4によりコンパクトである。§E2.19 命題 6.4によりAAはXXで閉である。Hausdorff 性を外すと、この主張は成り立たない。実際、2点密着空間の任意の部分空間は有限なので Lindelöf であるが、一点部分集合は可算コンパクトであるにもかかわらず閉でない。

(7)を示す。X,YX,Yを C-閉な T3 空間とし、A⊆X×YA\subseteq X\times Yを可算コンパクト部分集合、(x,y)∈cl⁡X×Y(A)(x,y)\in\tpcl[X\times Y]{A}とする。yyの任意の開近傍UUに対し、§E2.15 補題 2.6により、y∈V⊆cl⁡Y(V)⊆Uy\in V\subseteq\tpcl[Y]{V}\subseteq Uを満たす開集合VVをとる。B=A∩(X×cl⁡Y(V))B=A\cap(X\times\tpcl[Y]{V})はAAの閉部分集合なので可算コンパクトであり、pr⁡X(B)\pr_X(B)も可算コンパクトである。XXの C-閉性によりpr⁡X(B)\pr_X(B)はXXで閉である。xxの任意の開近傍WWに対して(W×V)∩A≠∅(W\times V)\cap A\ne\emptysetとなるので、x∈cl⁡X(pr⁡X(B))=pr⁡X(B)x\in\tpcl[X]{\pr_X(B)}=\pr_X(B)である。したがって、あるb∈cl⁡Y(V)⊆Ub\in\tpcl[Y]{V}\subseteq Uが存在して(x,b)∈A(x,b)\in Aとなる。

XXは T1 なのでA∩({x}×Y)A\cap(\{x\}\times Y)はAAで閉であり、切片Ax={b∈Y:(x,b)∈A}A_x=\{b\in Y:(x,b)\in A\}はその連続像として可算コンパクトである。YYの C-閉性によりAxA_xは閉である。上の議論からyyの任意の開近傍がAxA_xと交わるので、y∈Axy\in A_xであり(x,y)∈A(x,y)\in Aである。ゆえにX×YX\times Yは C-閉である。§E2.15 系 2.9によりX×YX\times Yは T3 でもあるから、帰納的に有限個の C-閉な T3 空間の積も C-閉な T3 空間となる。

P=∏n∈ωXnP=\prod_{n\in\omega}X_nとし、A⊆PA\subseteq Pを可算コンパクト部分集合、p∈cl⁡P(A)p\in\tpcl[P]{A}とする。各m∈ωm\in\omegaについて、有限射影πm ⁣:P→∏n≤mXn\pi_m\colon P\to\prod_{n\leq m}X_nの像πm(A)\pi_m(A)は可算コンパクトであり、有限積の C-閉性により閉である。p∈cl⁡P(A)p\in\tpcl[P]{A}と射影の連続性からπm(p)∈πm(A)‾=πm(A)\pi_m(p)\in\tpcl{\pi_m(A)}=\pi_m(A)となる。したがって

Fm={a∈A:an=pn (n≤m)}F_m=\{a\in A:a_n=p_n\ (n\leq m)\}

は空でない。各因子が T1 であることからFmF_mはAAで閉であり、(Fm)m∈ω(F_m)_{m\in\omega}は減少列である。可算コンパクト性により⋂m∈ωFm≠∅\bigcap_{m\in\omega}F_m\ne\emptysetである。この共通部分に属する点は全座標がppと等しいので、p∈Ap\in Aである。ゆえにPPは C-閉であり、§E2.15 系 2.9により T3 でもある。

(8)を示す。P=∏λ<κXλP=\prod_{\lambda<\kappa}X_\lambdaの点xxをとる。例 7.2 (1)によりΣ(x)\Sigma(x)は可算コンパクトである。PPの空でない基本開集合が指定する座標の集合をFFとすると、FFは有限である。その基本開集合の点zzに対し、FF上ではzzと等しく、FFの外ではxxと等しい点をとれば、その点は同じ基本開集合とΣ(x)\Sigma(x)に属する。したがってΣ(x)\Sigma(x)はPPで稠密である。

J={λ<κ:∣Xλ∣≥2}J=\{\lambda<\kappa:|X_\lambda|\geq2\}は非可算である。λ∈J\lambda\in Jではyλ∈Xλ∖{xλ}y_\lambda\in X_\lambda\setminus\{x_\lambda\}を選び、λ∉J\lambda\notin Jではyλ=xλy_\lambda=x_\lambdaとおくと、y∈P∖Σ(x)y\in P\setminus\Sigma(x)である。ゆえにΣ(x)\Sigma(x)は稠密な真部分集合なので閉でなく、PPは C-閉でない。2点以上をもつ因子が非可算個存在するという仮定を外すと、たとえば全因子が一点空間である場合にはPPも一点空間となり、結論は成り立たない。▨

参考文献

  1. 松坂和夫『集合・位相入門』新装版, 岩波書店, 2018.コンパクト性と可算コンパクト性の関係を参考にした。
  2. James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000.可算コンパクト性と集積点による条件の関係を参考にした。
  3. Stephen Willard, General Topology, Dover Publications, 2004, originally published 1970.一般の位相空間における可算コンパクト性と点列コンパクト性の比較を参考にした。
  4. Ryszard Engelking, General Topology, revised and completed ed., Sigma Series in Pure Mathematics 6, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.可算コンパクト性が直積で保たれないことを参考にした。

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