§E2.38コンパクト生成空間

証明.$K=\{x\}\cup\{x_n:n\in\NN\}$の開被覆から$x$を含む一つの開集合を取る。$K$内でも$x_n\to x$であるから、この開集合は有限個の項を除くすべての$x_n$を含む。残る有限個の点を覆う被覆要素を加えると、$K$の有限部分被覆を得る。▨

証明. 第一可算空間$X$の k 閉集合$A$と$x\in\tpcl[X]{A}$を取る。§E2.13 定理 7.4により、$A$内の点列で$x_n\to x$となるものが存在する。補題 1.2により$K=\{x\}\cup\{x_n:n\in\NN\}$はコンパクトである。$A\cap K$は$K$で閉であり、$K$内でも$x_n\to x$であるから$x\in A$である。したがって$A$は閉である。

局所コンパクト空間$X$の k 閉集合$A$と$x\in X\setminus A$を取る。$x$のコンパクト近傍$K$に対して、$K\setminus A$は$K$で開であるから、$X$の開集合$V$を用いて$K\setminus A=K\cap V$と書くことができる。$x\in\tpint[X]{K}\cap V\subseteq X\setminus A$であるから$X\setminus A$は開である。▨

証明.§E2.12 命題 3.9 (2)を包含写像の族へ適用すると、恒等写像$\epsilon_X\colon kX\to X$は連続である。$X$のコンパクト部分集合$K$について、構造写像$K\to kX$も連続であるから、$K$上の相対位相は$X$と$kX$で一致する。特に$K$は$kX$でもコンパクトである。逆に$kX$のコンパクト部分集合は、連続写像$\epsilon_X$による像として$X$でもコンパクトである。

コンパクト部分集合と各相対位相が一致するので、$k(kX)$を定める検査族は$kX$を定めた検査族と同じであり、$k(kX)=kX$である。最後の同値は閉集合の記述から従い、$kX$に適用すると$kX$のコンパクト生成性を得る。▨

証明.$q\colon X\to Y$をコンパクト生成空間$X$からの商写像とし、$A\subseteq Y$を k 閉とする。$X$のコンパクト部分集合$K$に対して、$q(K)$はコンパクトであり、

は$K$で閉である。したがって$q^{-1}(A)$は k 閉、ゆえに閉であり、商性から$A$も閉である。

コンパクト生成空間の直和$X=\coprod_{i\in I}X_i$の k 閉集合$A$を取る。各成分の包含は連続であるから、$A$の各成分での逆像は k 閉、ゆえに閉である。§E2.12 命題 7.2 (1)により$A$は閉である。▨

証明.§E2.12 命題 7.2 (1)により、$q_K^{-1}(A)$が閉であることは$A$が k 閉であることと同値である。一点集合がコンパクトであることから$q_K$は全射であり、§E2.12 命題 7.2 (3)により連続である。したがって(1)と(2)は同値である。

$q_K$の始域では各成分が開なコンパクト近傍であるから、始域は局所コンパクトである。$X$が Hausdorff ならば各成分も Hausdorff であり、異なる成分は開集合で分離されるから、始域も Hausdorff である。これにより(2)から(3)と Hausdorff 版を得る。逆方向は命題 1.3と補題 2.3から従う。

$kX$の終位相の普遍性§E2.12 定理 3.10により、$kX\to Y$の連続性は各$K$への制限で判定される。$X=kX$ならば(4)が成り立つ。逆にこの判定を恒等集合写像$X\to kX$に適用する。各$K\to kX$は構造写像として連続であるから$X\to kX$は連続となり、命題 2.2により$X=kX$である。▨

証明.$T$のコンパクト部分集合$A$を取る。$f(A)$は$X$のコンパクト部分集合であり、$A\to f(A)\to kX$は連続である。定理 2.4 (4)により、$f$と同じ集合写像である$\widetilde f\colon T\to kX$は連続である。$\epsilon_X$は恒等集合写像であるから、因子化は一意である。▨

証明.$F\subseteq X$を閉集合とし、$A\subseteq F$を$F$で k 閉とする。$X$のコンパクト部分集合$K$に対して、$F\cap K$はコンパクトであり、$A\cap K=A\cap(F\cap K)$は$F\cap K$で閉、したがって$K$で閉である。$X$のコンパクト生成性により$A$は$X$で閉であり、$F$でも閉である。

$X$を Hausdorff、$U\subseteq X$を開集合とし、$A\subseteq U$を$U$で k 閉とする。$X$のコンパクト部分集合$K$に対して、$K\cap U$はコンパクト Hausdorff 空間$K$の開部分空間であり、§E2.24 系 1.8により局所コンパクトである。$A\cap K$は$K\cap U$で k 閉であるから、命題 1.3により$K\cap U$で閉である。したがって$(U\setminus A)\cap K$は$K$で開である。$X$のコンパクト生成性により$U\setminus A$は$X$で開となり、$A$は$U$で閉である。▨

証明.定理 2.4 (2)の商写像$q_K\colon\coprod K\to X$をとる。局所コンパクト Hausdorff 空間$L$は§E2.24 定理 1.6により正則であるから、§E2.37 定理 5.2 (2)により$q_K\times\id_L$は商写像である。始域は各$K\times L$を開成分とする位相的直和である。実際、各成分の部分空間位相は積位相であり、開成分による被覆の開集合は成分ごとに判定される。各$K\times L$は§E2.24 系 1.13 (2)により局所コンパクトであるから、その直和も局所コンパクトである。定理 2.4 (3)により$X\times L$はコンパクト生成である。▨

証明. 各$a\in A$に対してコンパクト集合$\{a\}$を取ると、$a\in\operatorname{kcl}_X(A)$である。各包含写像$K\to X$の連続性から$\tpcl[K]{A\cap K}\subseteq\tpcl[X]{A}$であり、各部分空間での閉包の単調性からコンパクト閉包も単調である。

$A$が k 閉ならば各$\tpcl[K]{A\cap K}=A\cap K$であるから$\operatorname{kcl}_X(A)=A$である。逆に$\operatorname{kcl}_X(A)=A$ならば、各コンパクト部分集合$K$について$\tpcl[K]{A\cap K}\subseteq A\cap K$であり、$A$は k 閉である。

包含と単調性を超限帰納法で反復すると、反復の増大性を得る。閉集合$\tpcl[X]{A}$は k 閉であるから固定点となり、同じ帰納法で各段階が$\tpcl[X]{A}$に含まれる。▨

証明.$A\subseteq X$に対して$A_\alpha=\operatorname{kcl}_X^\alpha(A)$、$\alpha\leq\theta$とおく。§E1.17 系 2.4と補題 4.2により、この族は定まり、増大する。すべての$\alpha<\theta$で$A_\alpha\subsetneq A_{\alpha+1}$ならば、$\alpha\mapsto A_\alpha$は$\theta$から$\mathcal P(X)$への単射となるが、これは§E1.21 定理 3.1 (3)に反する。したがってある$\alpha<\theta$で$A_\alpha=A_{\alpha+1}$となり、それ以降の反復も$A_\alpha$に等しい。特に$A_\theta$はコンパクト閉包の固定点であり、k 閉である。

$A$を含む k 閉集合$F$に対して、超限帰納法によりすべての$A_\alpha$が$F$に含まれる。後続段階では$\operatorname{kcl}_X(F)=F$と単調性を用い、極限段階では和集合を取ればよい。ゆえに$A_\theta$は$A$を含む最小の k 閉集合である。$kX$の閉集合は$X$の k 閉集合であるから、$A_\theta=\tpcl[kX]{A}$を得る。

$X$がコンパクト生成ならば命題 2.2により$kX=X$であり、すべての部分集合が同じ段階$\theta$で通常の閉包へ達する。したがってコンパクト順序が存在する。逆にコンパクト順序が存在するならば、k 閉集合の各反復は元の集合に等しいから、その集合は通常の閉包にも等しい。ゆえに$X$はコンパクト生成である。▨

証明. コンパクト空間$X$の部分集合$A$に対し、コンパクト閉包の定義で$K=X$を取ると$\tpcl[X]{A}\subseteq\operatorname{kcl}_X(A)$である。逆の包含は補題 4.2による。▨

証明.$C$がどの$K_n$にも含まれないと仮定し、各$n$に対して$x_n\in C\setminus K_n$をとる。$D=\{x_n:n\in\NN\}$とおく。固定した$j$に対して、$n\geq j$ならば$x_n\notin K_j$であるから、$D\cap K_j$は有限である。$D$が有限ならば$X=\bigcup_jK_j$により$D\subseteq K_j$となる$j$が存在し、$x_j\notin K_j$に矛盾する。したがって$D$は無限である。

任意の$E\subseteq D$と任意の$j$について、$E\cap K_j$は有限であり、Hausdorff 性により$K_j$で閉である。$k_\omega$の閉集合判定によって$E$は$X$で閉である。ゆえに$D$は$C$の閉部分空間であり、すべての部分集合が閉である離散空間でもある。$D$はコンパクトな無限離散空間となり、矛盾する。▨

証明.$X$が$k_\omega$であるとし、閉集合判定を与える増大列$(K_n)$をとる。k 閉集合$A\subseteq X$は各$K_n$と閉集合で交わるから、$k_\omega$の判定によって閉である。したがって$X$はコンパクト生成であり、補題 5.2により同じ列がすべてのコンパクト部分集合を吸収する。

(2)を仮定する。一点集合の吸収性により$X=\bigcup_nK_n$である。$A\cap K_n$が各$K_n$で閉であるとし、$C\subseteq X$をコンパクトとする。$C\subseteq K_n$となる$n$をとれば$A\cap C$は$C$で閉である。したがって$A$は k 閉であり、コンパクト生成性により閉である。逆の閉性は部分空間への制限から従う。▨

証明. 定義の閉集合判定を満たすコンパクト増大列$(K_n)$と点$x\in X$をとり、$x$の減少する開近傍基$(U_n)$をとる。$x$がコンパクト近傍をもたないならば、どの$K_n$も$U_n$を含まない。各$n$について$x_n\in U_n\setminus K_n$をとると$x_n\to x$であり、補題 1.2により$C=\{x\}\cup\{x_n:n\in\NN\}$はコンパクトである。補題 5.2によって$C\subseteq K_j$となる$j$が存在するが、$x_j\notin K_j$に矛盾する。▨

証明.$k_\omega$の定義のコンパクト増大列は、そのまま σ-コンパクト性を与える。$\Q$は§E2.25 例 1.4 (2)により σ-コンパクトであり、第一可算なので命題 1.3によりコンパクト生成である。$\Q$が$k_\omega$ならば系 5.4により局所コンパクトとなるが、これは§E2.24 例 1.14に反する。▨

証明. 通常の積$X\times Y$は Hausdorff であり、その位相を細かくしても異なる二点を分離する開集合は保たれる。命題 2.2により$X\times_kY$はコンパクト生成である。$h$が連続ならば、恒等写像$X\times_kY\to X\times Y$と射影を合成して、座標写像の連続性を得る。逆に二つの座標写像が連続ならば、積位相の普遍性により$h\colon T\to X\times Y$は連続であり、系 2.5により k 積への写像としても連続である。

対称写像とその逆写像の各座標は射影であるから、座標判定により両写像は連続である。再結合写像についても、三つの座標は射影の合成であり、座標判定を二度適用すると連続である。逆向きの再結合写像も同じ三つの座標をもち、連続である。▨

証明. 通常の積$C_k(X,Y)\times X$のコンパクト部分集合$B$を取り、第二射影像を$L\subseteq X$とする。$L$はコンパクト Hausdorff 空間である。制限写像

は連続である。実際、コンパクト集合$H\subseteq L$と開集合$U\subseteq Y$に対して$H$は$X$でもコンパクトであり、$r_L^{-1}([H,U])=[H,U]$は$C_{\mathrm{co}}(X,Y)$で開である。

$B$上の評価は、連続写像の合成

である。最初の矢印は恒等写像$C_k(X,Y)\to C_{\mathrm{co}}(X,Y)$と射影から定まり、最後の矢印は$L$が局所コンパクト Hausdorff であることと§E2.30 定理 4.2によって連続である。したがって評価はすべての$B$上で連続である。k 化の終位相の普遍性により、$k(C_k(X,Y)\times X)$上の評価は連続である。▨

証明.$F\colon T\times_kX\to Y$を連続とする。各$t\in T$に対して、$x\mapsto(t,x)$は命題 6.2により$X\to T\times_kX$として連続である。したがって各切片は連続であり、$\widehat F$は連続写像全体に値を取る。

コンパクト部分集合$A\subseteq T$を取る。$A$はコンパクト Hausdorff であるから、定理 3.2により通常の積$A\times X$はコンパクト生成である。包含$A\times X\to T\times X$は系 2.5によって$T\times_kX$への連続写像となるので、$F$の制限$F_A\colon A\times X\to Y$は連続である。

コンパクト部分集合$K\subseteq X$、開集合$U\subseteq Y$、および$\widehat F(a_0)\in[K,U]$となる$a_0\in A$を取る。$F_A^{-1}(U)\cap(A\times K)$は$\{a_0\}\times K$を含む$A\times K$の開集合である。§E2.19 補題 5.1により、$a_0$の$A$における開近傍$V$で$V\times K\subseteq F_A^{-1}(U)$となるものが存在する。したがって$V\subseteq(\widehat F|_A)^{-1}([K,U])$であり、$\widehat F|_A\colon A\to C_{\mathrm{co}}(X,Y)$は連続である。定理 2.4 (4)により$\widehat F\colon T\to C_{\mathrm{co}}(X,Y)$は連続であり、系 2.5により$C_k(X,Y)$への写像としても連続である。

逆に$\widehat F\colon T\to C_k(X,Y)$が連続ならば、命題 6.2により

は連続である。この写像と定理 6.4の評価を合成すると$F$を得るから、$F$は連続である。▨

証明.$D=C_k(T\times_kX,Y)$とおく。定理 6.4の評価を命題 6.2の再結合写像と合成すると、連続写像

を得る。定理 6.5を$X$について適用すると$D\times_kT\to C_k(X,Y)$が連続となり、さらに$T$について適用すると、$\Phi\colon D\to C_k(T,C_k(X,Y))$が連続となる。

$E=C_k(T,C_k(X,Y))$とおく。二つの評価を合成した写像

は命題 6.2と定理 6.4により連続である。再結合して$E\times_k(T\times_kX)\to Y$とみなし、定理 6.5を$T\times_kX$について適用すると、

は連続である。各$F\in D$、$h\in E$に対して$\Psi(\Phi(F))(t,x)=F(t,x)$、$\Phi(\Psi(h))(t)(x)=h(t)(x)$であるから、$\Phi$と$\Psi$は互いに逆である。▨