§E2.26Čech 完備性

証明. 必要性を示す。$Z$の開集合からなる列$(U_n)_{n\geq1}$が$A=\bigcap_{n\geq1}U_n$を満たすとする。各$Z\setminus U_n$は$Z$の閉集合であり、§E1.2 定理 3.2 (2)により$Z\setminus A=\bigcup_{n\geq1}(Z\setminus U_n)$であるから、$Z\setminus A$は$Z$の$F_\sigma$集合である。

十分性を示す。$Z$の閉集合からなる列$(F_n)_{n\geq1}$が$Z\setminus A=\bigcup_{n\geq1}F_n$を満たすとする。各$Z\setminus F_n$は$Z$の開集合であり、§E1.2 定理 3.2 (1)により$Z\setminus(Z\setminus A)=\bigcap_{n\geq1}(Z\setminus F_n)$である。$A\subseteq Z$であるから、§E1.2 定理 3.2 (3)により左辺は$A$であり、$A$は$Z$の$G_\delta$集合である。▨

証明.$Z(f)$は§E2.16 命題 4.3 (1)により閉集合であり、$Z(f)=\bigcap_{n\in\NN}f^{-1}((-1/n,1/n))$であるから$G_\delta$集合である。

逆に、$F=\bigcap_{n\in\NN}U_n$を閉$G_\delta$集合とし、各$U_n$を開集合とする。§E2.18 定理 3.1により、$F$の上で$0$、$X\setminus U_n$の上で$1$をとる連続写像$f_n\colon X\to[0,1]$が存在する。§E2.16 命題 4.3 (5)により$\bigcap_{n\in\NN}Z(f_n)$は零集合である。この共通部分は$F$を含み、$x\notin F$ならばある$n$について$x\notin U_n$であって$f_n(x)=1$であるから$x$を含まない。ゆえに$F=\bigcap_{n\in\NN}Z(f_n)$である。▨

証明.

(1)を示す。各$n\geq1$について、$X$の開集合の列$(U_{n,m})_{m\geq1}$で$A_n=\bigcap_{m\geq1}U_{n,m}$を満たすものをとると

である。§E1.18 定理 5.2 (2)により$\Z_{\geq1}\times\Z_{\geq1}$は高々可算であり空でないから、§E1.18 補題 3.6により全射$s\colon\Z_{\geq1}\to\Z_{\geq1}\times\Z_{\geq1}$が存在する。$W_j=U_{n,m}$（ただし$(n,m)=s(j)$）とおくと、$(W_j)_{j\geq1}$は$X$の開集合の列であり、$s$が全射であることから$\bigcap_{j\geq1}W_j$は上の右辺に等しい。▨

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)は補題 1.2より明らかである。また、コンパクト部分空間の閉部分空間はコンパクトであるから、(2)$\Rightarrow$(3)が従う。逆に、Hausdorff 空間のコンパクト部分集合は閉なので、(3)$\Rightarrow$(2)が従う。▨

証明.(1)は明らかである。

(2)を示すため、$X$を Čech 完備、$Y\subset X$を$G_\delta$集合とすると、$X$はあるコンパクト化$cX$の$G_\delta$集合なので、補題 1.4 (2)より$Y$は$cX$の$G_\delta$集合であり、よって$Y$はそのコンパクト化$\tpcl[cX]{Y}$の$G_\delta$集合である。

(3)は§E2.24 系 1.10より局所コンパクト空間はどんなコンパクト化の中でも開、とくに$G_\delta$なのでこれから明らかである。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$X$のコンパクト化$cX$であって$X$が$cX$の$G_\delta$集合であるものをとると、補題 1.2により$cX\setminus X$は$cX$の$F_\sigma$集合である。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$X$のコンパクト化$cX$であって$cX\setminus X$が$cX$の$F_\sigma$集合であるものをとり、$cX$の閉集合からなる列$(E_n)_{n\geq1}$で$cX\setminus X=\bigcup_{n\geq1}E_n$を満たすものをとる。$\pi\colon\beta X\to cX$を§E2.22 系 3.5の写像とすると、$\pi$は連続であるから、§E2.12 命題 1.6により各$\pi^{-1}(E_n)$は$\beta X$の閉集合である。§E1.2 定理 4.1 (1)により

であり、§E2.22 系 5.3 (1)により左辺は$\beta X\setminus X$である。ゆえに$\beta X\setminus X$は$\beta X$の$F_\sigma$集合である。

(3)$\Rightarrow$(6)を示す。$cX$を$X$の任意のコンパクト化とし、$\pi\colon\beta X\to cX$を§E2.22 系 3.5の完全写像とすると、これは全射閉写像なので、$\beta X\setminus X$が$\beta X$の$F_{\sigma}$集合であることと§E2.22 系 5.3 (2)より$\pi(\beta X\setminus X) = cX \setminus X$も$cX$の$F_{\sigma}$集合である。

(6)$\Rightarrow$(5)を示す。$cX$を$X$の任意のコンパクト化とすると、$cX\setminus X$は$cX$の$F_\sigma$集合であるから、補題 1.2により$X$は$cX$の$G_\delta$集合である。

(5)$\Rightarrow$(4)を示す。§E2.22 系 2.4により$\beta X$は$X$のコンパクト化であるから、このコンパクト化へ(5)を適用すると、$X$は$\beta X$の$G_\delta$集合である。

(4)$\Rightarrow$(1)を示す。§E2.22 系 2.4により$\beta X$は$X$のコンパクト化であるから、$cX=\beta X$が(1)の求めるコンパクト化を与える。▨

証明. いずれの同値性も定理 2.3と補題 1.6よりただちに従う。▨

証明.$\prod_{n\in \N}X_n = \bigcap_{n\in \N} \left( X_n \times \prod_{m\neq n}\beta X_m\right)$であり、各$X_n \times \prod_{m\neq n}\beta X_m$はコンパクト Hausdorff 空間$\prod_{n\in \N}\beta X_n$の中で$G_{\delta}$であるから、その可算個の共通部分である$\prod_{n\in \N}X_n$も$G_{\delta}$である。よって主張は定理 2.3よりただちに従う。▨

証明.(1)は定理 2.3と$F_{\sigma}$集合の逆像が$F_{\sigma}$であることと§E2.22 定理 5.2より得られる等式$(\beta f)^{-1}(\beta Y\setminus Y) = \beta X\setminus X$からただちに従う。(2)も同じく、定理 2.3と補題 1.5と§E2.22 定理 5.2$\beta f(\beta X\setminus X) = \beta Y\setminus Y$からただちに従う。▨

証明.(1)は包含写像$F\to X$が固有閉写像であることと定理 2.6 (1)より、(2)は標準射影$X\times K\to X$が固有閉写像であることと定理 2.6 (1)よりただちに従う。▨

証明.$X\subseteq Y$も$Y\subseteq \beta Y$も稠密であるから、$X$は$\beta Y$で稠密である。よって$\beta Y$は$X$のあるコンパクト化である。$X$は Čech 完備なので、定理 2.3 (5)をコンパクト化$X\subseteq\beta Y$へ適用すると、$\beta Y$の開集合からなる列$(W_n)_{n\geq1}$で$X=\bigcap_{n\geq1}W_n$を満たすものが存在する。このとき$X = \bigcap_{n\geq1}(W_n\cap Y)$であるから、$X$は$Y$の$G_\delta$集合である。▨

証明.定理 2.8よりただちに従う。▨

証明.$n\in \N$とする。各$x\in X$に対して$V_n(x):=Y\setminus \tpcl[Y]{X\setminus B_X(x, 2^{-n})}$と置き、

と定義する。任意の$n\in \N$と$x\in X$に対して$B_X(x, 2^{-n})\subseteq V_n(x)$が成り立つので、$X\subseteq \bigcap_{n\in \N} U_n$である。

$y\in\bigcap_{n\in \N} U_n$を任意にとる。このとき、任意の$n\in\N$に対してある$a_n\in X$が存在して$y\in V_n(a_n)$が成り立つ。$W_n := \bigcap_{k\leq n}V_k(a_k)$とおけば、これは$y\in W_n$となる$Y$の開集合であり、$X\subseteq Y$は稠密なので

従って、$F_n:=\tpcl[X]{X\cap W_n}$とおけば、§E2.5 補題 2.3より、$F_n$は$\operatorname{diam}_X(F_n) \leq 2^{1-n}\to 0$($n\to \infty$) を満たす$X$の閉部分集合の減少列となるので、$(X, d)$の完備性と§E2.5 定理 2.5より点$x_\infty\in \bigcap_{n\in \N}F_n$がとれる。

$y=x_\infty$を示せば良い。$y\neq x_\infty$と仮定すると、$Y$は Hausdorff なので、開集合

が取れる。すると、$X\cap W_x$は$x_\infty$を含む$X$の開集合なので、ある$\ep > 0$が存在して$B_X(x_\infty, \ep)\subseteq W_x\cap X$が成り立つ。さらに$x_\infty \in \bigcap_{n\in\N}F_n$なので、$\operatorname{diam}_X(F_n)\to 0$($n\to \infty$) であることから、ある$n\in \N$が存在して

が成り立つ。一方、$W_n\cap W_y$は$y$を含む開集合なので、$X\subseteq Y$が稠密であることから、

となり、矛盾である。よって$y=x_\infty$でなければならない。▨

証明. 必要性は定理 3.1より明らかであり、十分性は§E2.10 系 6.4より明らかである。▨

証明. 必要性を示す。距離空間は T3½ である。定理 3.1より$X$は任意のコンパクト化$cX$の中で$G_\delta$集合である。ゆえに定義 2.1により$X$は Čech 完備である。

十分性を示す。$(\widehat X,\widehat d,\iota)$を$(X, d)$の完備化とする。$X\subseteq \widehat X$は稠密で、$\widehat X$は距離空間なので T3½ であり、さらに$X$は Čech 完備なので、定理 2.8より、$X$は$\widehat X$の$G_\delta$部分集合である。よって§E2.10 定理 6.2より$X$は完備距離化可能である。▨

証明.§E2.10 例 6.6により、制限距離を入れた$\mathbb R\setminus\mathbb Q$は完備距離化可能であり、かつ制限距離そのものについて完備でない。ゆえに系 3.3により$\mathbb R\setminus\mathbb Q$は Čech 完備である。

$U$を$\mathbb R$の空でない開集合とし、$x\in U$をとると、§E2.2 定義 1.1により$B(x,\varepsilon)=(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq U$を満たす実数$\varepsilon>0$が存在する。§D1.4 補題 2.3により$x<r<x+\varepsilon$を満たす無理数$r$が存在し、§D1.4 系 2.2の有理数の稠密性により$x<q<x+\varepsilon$を満たす有理数$q$が存在する。$r$と$q$はともに$B(x,\varepsilon)\subseteq U$に属するから、§E2.11 命題 2.9 (2)により$\mathbb R\setminus\mathbb Q$と$\mathbb Q$はいずれも$\mathbb R$で稠密である。

$\mathbb R\setminus\mathbb Q$が局所コンパクトであると仮定する。§E2.12 命題 4.8により制限距離が定める$\mathbb R\setminus\mathbb Q$の位相は$\mathbb R$からの部分空間位相であり、§E2.15 定理 3.2により$\mathbb R$は Hausdorff であるから、§E2.24 命題 4.1により$\mathbb R\setminus\mathbb Q$は$\mathbb R$の開集合である。したがって$\mathbb Q$は$\mathbb R$の閉集合であり、§E2.11 命題 2.5 (2)により$\tpcl[\mathbb R]{\mathbb Q}=\mathbb Q$である。一方、$\mathbb Q$の稠密性と§E2.11 定義 2.7により$\tpcl[\mathbb R]{\mathbb Q}=\mathbb R$であるから$\mathbb Q=\mathbb R$となる。しかし§D1.4 補題 2.3により$0<r_0<1$を満たす無理数$r_0$が存在し、$r_0\notin\mathbb Q$である。この二つは両立しない。ゆえに$\mathbb R\setminus\mathbb Q$は局所コンパクトでない。▨

証明.§E2.24 補題 1.9により$\tpint[cX]{X}=X_{\mathrm{lc}}$であり、§E2.11 命題 2.5 (3)により$cX\setminus\tpint[cX]{X}=\tpcl[cX]{cX\setminus X}$であるから、$\tpcl[cX]{cX\setminus X} = cX\setminus X_{\mathrm{lc}}$である。▨

証明.$R=cX\setminus X$とおく。$\tpcl[cX]{cX\setminus X}$は$cX\setminus X$のコンパクト化であり、補題 4.1により$\tpcl[cX]{cX\setminus X}\setminus (cX\setminus X) = X\setminus X_{\mathrm{lc}}$である。よって主張は系 2.4 (1)$\Leftrightarrow$(2)を$cX\setminus X$へ適用することによりただちに従う。▨

証明.§E2.24 命題 1.4 (1)により$X_{\mathrm{lc}}$は$X$の開集合であるから、$X\setminus X_{\mathrm{lc}}$は$X$の閉集合である。$X$はσ-コンパクトであるから、§E2.25 系 2.2 (1)により部分空間$X\setminus X_{\mathrm{lc}}$はσ-コンパクトである。ゆえに定理 4.2により剰余$cX\setminus X$は Čech 完備である。▨

証明.§E2.24 例 5.1により$D$は局所コンパクト Hausdorff 空間であり、§E2.19 例 2.9 (3)により$D$はコンパクトでないから、§E2.24 命題 2.2 (3)により$\alpha D$は$D$の一点コンパクト化である。§E2.22 定義 1.1により剰余$R=\alpha D\setminus D$は一点集合であり、$\alpha D$は Hausdorff である。ゆえに§E2.19 例 2.3により$R$はコンパクトであり、§E2.15 定理 2.1 (3)により Hausdorff である。コンパクト空間は§E2.24 例 5.1により局所コンパクトであるから、補題 2.2 (3)により$R$は Čech 完備である。一方、§E2.25 例 4.1により$D$はσ-コンパクトでない。

$D$は局所コンパクトであるから§E2.24 定義 1.3により$D_{\mathrm{lc}}=D$であり、§E2.19 例 2.3と§E2.25 例 1.4 (1)により$D\setminus D_{\mathrm{lc}}=\emptyset$はσ-コンパクトである。すなわち$D$自身はσ-コンパクトでないにもかかわらず定理 4.2 (1)は成り立っており、剰余の Čech 完備性は定理 4.2からも従う。▨