距離空間の連続写像 | 位相空間論 I

1 一点における連続性

定義 1.1 (一点における連続性、連続写像). $(X,d_X)$ 、 $(Y,d_Y)$ を距離空間、 $f:X\to Y$ を写像、 $a\in X$ とする。 $f$ が $a$ で連続 (continuity at a point) であるとは、

\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in X,\quad d_X(x,a)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon

が成り立つことである。 $f$ が $X$ のすべての点で連続であるとき、 $f$ を連続写像 (continuous map) という。

命題 1.2 (開球と近傍による言い換え). $a\in X$ について、次の四条件は同値である。

$f$ は $a$ で連続である。
任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $f(B(a,\delta))\subseteq B(f(a),\varepsilon)$ を満たす $\delta>0$ が存在する。
$f(a)$ の任意の近傍 $W$ に対して、 $f(V)\subseteq W$ を満たす $a$ の近傍 $V$ が存在する。
$f(a)$ の任意の近傍 $W$ に対して、 $f^{-1}(W)$ は $a$ の近傍である。

証明. 1 と 2 は開球と像の定義を展開すれば同じ量化式になる。2 を仮定し、 $f(a)$ の近傍 $W$ をとる。 $B(f(a),\varepsilon)\subseteq W$ を満たす $\varepsilon>0$ と、2 が与える $\delta>0$ をとれば、 $V=B(a,\delta)$ は $a$ の近傍で $f(V)\subseteq W$ である。3 を仮定すると、 $f(V)\subseteq W$ である $a$ の近傍 $V$ は $f^{-1}(W)$ に含まれるから、 $f^{-1}(W)$ は $a$ の近傍である。4 を仮定し、 $W=B(f(a),\varepsilon)$ とする。 $f^{-1}(W)$ は $a$ の近傍であるから、 $B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(W)$ を満たす $\delta>0$ が存在し、これは 2 である。▨

命題 1.3 (点列による一点での連続性の判定). 点列と収束は§E2.3 定義 1.1に従う。 $f$ が $a$ で連続であることと、 $x_n\to a$ を満たす任意の点列に対して $f(x_n)\to f(a)$ が成り立つことは同値である。

証明. $f$ が $a$ で連続であるとする。 $\varepsilon>0$ に対して連続性が与える $\delta>0$ をとる。 $x_n\to a$ であるから、十分大きい $n$ では $d_X(x_n,a)<\delta$ であり、したがって $d_Y(f(x_n),f(a))<\varepsilon$ である。

逆に、点列条件を仮定し、 $f$ が $a$ で連続でないとする。ある $\varepsilon_0>0$ に対して、各 $n\geq1$ で

S_n=\{x\in X\mid d_X(x,a)<1/n,\ d_Y(f(x),f(a))\geq\varepsilon_0\}

が空でない。すべての $n\geq1$ について $x_n\in S_n$ を満たす列 $(x_n)_{n\geq1}$ をとる。 $1/N<\varepsilon$ を満たす $N$ 以降では $d_X(x_n,a)<1/n\leq1/N<\varepsilon$ であるから $x_n\to a$ である。一方、どの $n$ でも $d_Y(f(x_n),f(a))\geq\varepsilon_0$ であるから $f(x_n)$ は $f(a)$ に収束しない。これは仮定に反する。▨

例 1.4 (一点でだけ連続な写像). 通常の距離を入れた $\mathbb{R}$ で、 $f(x)=x$ を $x\in\mathbb{Q}$ に対して、 $f(x)=0$ を $x\notin\mathbb{Q}$ に対して定める。 $|f(x)|\leq|x|$ であるから、 $\delta=\varepsilon$ とすれば $f$ は $0$ で連続である。 $a\ne0$ が有理数ならば§D1.4 補題 2.3により $a$ に任意に近い $r\notin\mathbb{Q}$ があり、 $|f(r)-f(a)|=|a|$ である。 $a\ne0$ が無理数ならば§D1.4 系 2.2が与える有理数の稠密性により $a$ に任意に近い $q\in\mathbb{Q}$ があり、 $|f(q)-f(a)|$ を $|a|/2$ より大きくすることができる。よって $f$ は $0$ 以外で連続でない。

2 逆像による連続写像の判定

定理 2.1 (開集合の逆像による判定). $f$ が連続写像であることと、 $Y$ の任意の開集合 $V$ に対して $f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合であることは同値である。

証明. $f$ が連続写像であり、 $V$ を $Y$ の開集合とする。 $a\in f^{-1}(V)$ をとると、 $B(f(a),\varepsilon)\subseteq V$ を満たす $\varepsilon>0$ がある。 $f$ の $a$ における連続性から、 $B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(a),\varepsilon))\subseteq f^{-1}(V)$ を満たす $\delta>0$ がある。よって $f^{-1}(V)$ は開集合である。

逆に、開集合の逆像が開集合であるとする。 $B(f(a),\varepsilon)$ の逆像は $a$ を含む開集合であるから、 $B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(a),\varepsilon))$ を満たす $\delta>0$ が存在する。命題 1.2により $f$ は $a$ で連続である。 $a$ は任意である。▨

系 2.2 (閉集合の逆像による判定). $f$ が連続写像であることと、 $Y$ の任意の閉集合の逆像が $X$ で閉集合であることは同値である。

証明. 逆像は補集合を保つので $f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ である。定理 2.1を補集合に適用すれば二条件が同値になる。▨

注意 2.3 (逆像による判定は一点での連続性を判定しない).定理 2.1と系 2.2は、定義域のすべての点での連続性を判定する。例 1.4で定めた写像は $0$ で連続だが連続写像ではないので、これらの条件は一点での連続性の条件ではない。開集合の逆像による判定は、後続の「連続写像と同相写像」で一般の位相空間における連続性の定義になる。

命題 2.4 (連続写像の合成は連続である). $(Z,d_Z)$ を距離空間とし、 $f:X\to Y$ と $g:Y\to Z$ を連続写像とする。このとき $g\circ f:X\to Z$ は連続写像である。

証明. $W\subseteq Z$ を開集合とする。 $g^{-1}(W)$ は $Y$ で開集合であり、 $f^{-1}(g^{-1}(W))$ は $X$ で開集合である。§E1.1 命題 4.8によりこの集合は $(g\circ f)^{-1}(W)$ に等しい。定理 2.1により $g\circ f$ は連続写像である。▨

3 一様連続性と Lipschitz 条件

定義 3.1 (一様連続性). 距離空間 $(X,d_X)$ と $(Y,d_Y)$ の間の写像 $f:X\to Y$ が一様連続性 (uniform continuity) をもつとは、

\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x,x'\in X,\qquad d_X(x,x')<\delta\Longrightarrow d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon

が成り立つことをいう。一様連続性をもつ写像を一様連続写像という。

注意 3.2. 一点での連続性では基準点を定めた後に $\delta$ を選ぶ。一様連続性では $\delta$ を選んだ後に任意の二点をとるため、 $\delta$ を点に依存させることはできない。

命題 3.3. 距離空間の間の一様連続写像は連続写像である。

証明. $f:X\to Y$ を一様連続写像とし、 $a\in X$ と $\varepsilon>0$ をとる。一様連続性から得られる $\delta>0$ に対して、 $d_X(x,a)<\delta$ ならば $d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon$ となる。したがって $f$ は任意の $a\in X$ で連続である。▨

命題 3.4. ある実数 $L>0$ が存在して、すべての $x,x'\in X$ に対して $d_Y(f(x),f(x'))\leq Ld_X(x,x')$ が成り立つとする。このとき $f$ は一様連続写像であり、したがって連続写像である。

証明. $\varepsilon>0$ を任意にとり、 $\delta=\varepsilon/L$ とおく。 $x,x'\in X$ が $d_X(x,x')<\delta$ を満たすならば $d_Y(f(x),f(x'))\leq Ld_X(x,x')<L\delta=\varepsilon$ である。 $\delta$ は $x$ と $x'$ の取り方によらないから、定義 3.1により $f$ は一様連続写像である。命題 3.3により $f$ は連続写像である。▨

例 3.5 (距離から定まる連続写像). $a\in X$ を固定すると、 $\varphi_a(x)=d_X(x,a)$ は§E2.1 命題 1.3により $|\varphi_a(x)-\varphi_a(x')|\leq d_X(x,x')$ を満たすから連続である。距離を保つ写像 $f$ は $d_Y(f(x),f(x'))=d_X(x,x')$ を満たす。§E2.1 定義 2.5で定めた $d_\infty$ または $d_1$ を入れた有限積 $\prod_{i=1}^nX_i$ からの座標射影 $p_i(x)=x_i$ は、 $d_i(x_i,y_i)\leq d_\infty(x,y)$ と $d_i(x_i,y_i)\leq d_1(x,y)$ を満たす。いずれも $L=1$ として命題 3.4の条件を満たすから連続である。

通常の距離を入れた実数直線上の $x\mapsto x^2$ は連続だが Lipschitz 条件を満たさない。 $a$ における連続性は $\delta=\min\{1,\varepsilon/(2|a|+1)\}$ で従う。他方、任意の $L>0$ に対して $x=L+1$ 、 $x'=L$ とすると $|x^2-x'^2|=2L+1>L|x-x'|$ である。

例 3.6. 通常の距離を入れた実数直線上の $f(x)=x^2$ は、例 3.5で扱った連続写像である。この $f$ は一様連続写像でない。 $\varepsilon=2$ とし、実数 $\delta>0$ をとる。 $x=2/\delta$ 、 $x'=x+\delta/2$ とおくと $|x-x'|=\delta/2<\delta$ であり、

|f(x')-f(x)|=(x'+x)(x'-x)=\left(\frac4\delta+\frac\delta2\right)\cdot\frac\delta2=2+\frac{\delta^2}{4}\geq\varepsilon

である。実数 $\delta>0$ は任意であるから、 $\varepsilon=2$ に対して定義 3.1で定める条件を満たす $\delta$ は存在しない。したがって命題 3.3の逆は成り立たず、一様連続性は連続性より真に強い条件である。

4 演習

問題 4.1 (離散距離からの写像). $X$ に離散距離を入れ、 $Y$ を任意の距離空間とする。任意の写像 $f:X\to Y$ が連続写像であることを示せ。

解答.

$a\in X$ と $\varepsilon>0$ をとり、 $\delta=1$ とおく。 $d_X(x,a)<1$ ならば離散距離の定義により $x=a$ である。よって $d_Y(f(x),f(a))=0<\varepsilon$ であるから、 $f$ は各 $a$ で連続である。▨

問題 4.2 (像が開集合になる条件との違い). 連続写像であっても、開集合の像が開集合になるとは限らないことを反例で示せ。

解答.

定数写像 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 、 $f(x)=0$ は Lipschitz 条件を満たすので連続である。しかし開集合 $\mathbb{R}$ の像は $\{0\}$ であり、通常の位相では開集合でない。▨

問題 4.3 (合成の連続性から因子へ戻れない例). $g\circ f$ が連続写像であっても、 $f$ と $g$ がともに連続写像であるとは限らない例を示せ。

解答.

例 1.4で定めた $f$ と定数写像 $g(y)=0$ をとる。 $f$ は連続写像でないが、 $g\circ f$ は定数写像であり Lipschitz 条件から連続である。▨

§E2.4距離空間の連続写像

1 一点における連続性

2 逆像による連続写像の判定

3 一様連続性と Lipschitz 条件

4 演習

参考文献

前提記事