§E2.39列型空間

証明.$S$の開被覆から$0$を含む一つの開集合をとる。この開集合は$1/n$を有限個を除いて含むから、残りの点を覆う有限個の開集合を加えると有限部分被覆を得る。$S$の非零の点は孤立点であり、$0$の近傍は$\{0\}\cup\{1/n:n\geq N\}$をある$N\in\NN$について含む。この近傍の記述から、$u$の連続性は$u(1/n)\to u(0)$と同値である。

$A$が列閉であるとする。$u^{-1}(A)$が閉でなければ、$0\notin u^{-1}(A)$かつ$u^{-1}(A)$は無限集合である。したがって$u(1/n_j)\in A$を満たす狭義増加列$(n_j)$が存在し、$u(1/n_j)\to u(0)\notin A$となって矛盾する。逆にすべての逆像が閉であり、$x_n\in A$、$x_n\to x$とする。$u(1/n)=x_n$、$u(0)=x$と定めると$u$は連続である。$u^{-1}(A)$はすべての$1/n$を含む閉集合であるから$0$も含み、$x\in A$となる。▨

証明.§E2.13 定理 7.4により第一可算空間は Fréchet–Urysohn である。Fréchet–Urysohn 空間の列閉集合$A$について、$\tpcl{A}$の各点は$A$内の点列の極限であるから$A$に属し、$A$は閉である。

$X$を列型空間、$A\subseteq X$を k 閉集合とする。$x_n\in A$、$x_n\to x$ならば、§E2.38 補題 1.2により$K=\{x\}\cup\{x_n:n\in\NN\}$はコンパクトである。$A\cap K$は$K$で閉であり、$K$内でも$x_n\to x$であるから$x\in A$となる。したがって$A$は列閉であり、列型性により閉である。▨

証明.$X$を列型空間、$F\subseteq X$を閉集合とし、$A\subseteq F$を$F$で列閉とする。$A$内の点列の$X$における極限は$F$に属し、$F$における極限でもあるから$A$に属する。したがって$A$は$X$で列閉、ゆえに閉である。

$U\subseteq X$を開集合とし、$A\subseteq U$を$U$で列閉とする。$A\cup(X\setminus U)$内の点列が$x\in U$に収束すれば、その点列は有限個の項を除いて$A$に属するので$x\in A$である。したがって$A\cup(X\setminus U)$は$X$で列閉、ゆえに閉であり、$A$は$U$で閉である。▨

証明.§E2.12 命題 3.9 (2)により恒等写像$\eta_X\colon sX\to X$は連続である。$X$で$x_n\to x$ならば、$u(1/n)=x_n$、$u(0)=x$で定める写像$u\colon S\to X$は構造写像の一つであり、$S\to sX$としても連続である。したがって$sX$でも$x_n\to x$である。逆方向は$\eta_X$の連続性から従う。

収束する点列と指定された極限の組が一致するから、補題 1.3により二度目の構成でも検査族は変わらず、$s(sX)=sX$となる。最後の同値は閉集合の記述から従い、$sX$に適用すると$sX$の列型性を得る。▨

証明.$q\colon X\to Y$を列型空間$X$からの商写像とし、$A\subseteq Y$を列閉とする。$q$の連続性によって$q^{-1}(A)$も列閉であり、$X$の列型性から閉である。商性によって$A$は閉となるから、$Y$は列型である。

列型空間の直和$X=\coprod_{i\in I}X_i$の列閉集合$A$をとる。各成分の包含は連続であるから、$A$の各成分での逆像は列閉、ゆえに閉である。§E2.12 命題 7.2 (1)により$A$は閉である。▨

証明.$I$に離散距離$\delta$を入れる。§E2.1 定理 2.8により、

は$I\times S$上の距離である。$0<r<1$に対して

であるから、$d$の位相は直和位相に一致する。各成分は開かつコンパクトであるから、$D$は局所コンパクトである。▨

証明.補題 1.3と§E2.12 命題 7.2 (1)を適用すると、$q_S^{-1}(A)$が閉であることと$A$が列閉であることは同値である。定値写像が$\Gamma(X)$に属するので$q_S$は全射であり、直和の普遍性によって連続である。したがって(1)と(2)は同値である。

補題 3.2により$D_S(X)$は局所コンパクト距離空間となるから、(2)は(4)を導き、後者は(3)を導く。距離空間は§E2.13 命題 4.2により第一可算であるから、命題 1.4と補題 3.1により、その商像は列型である。

補題 1.3により、$f$が収束列とその極限を保つことは、すべての$u\in\Gamma(X)$について$f\circ u$が連続であることと同値である。終位相の普遍性により、この条件は$f\colon sX\to Y$の連続性と同値である。$sX=X$ならば(5)を得る。逆にこの判定を恒等集合写像$X\to sX$に適用すると、命題 2.2によりこの写像は連続となり、$X=sX$を得る。▨

証明.命題 2.2により$f\colon Y\to sX$は収束列とその極限を保つから、定理 3.3 (5)により連続である。因子化の一意性は、$\eta_X$が恒等集合写像であることから従う。▨

証明.命題 2.2により$sX$は列型であり、命題 1.4によりコンパクト生成である。連続な恒等写像$sX\to X$に§E2.38 系 2.5を適用すると、恒等写像$sX\to kX$は連続である。$kX\to X$の連続性は§E2.38 命題 2.2による。▨

証明.$X$を Fréchet–Urysohn 空間とし、$B\subseteq X$、$A\subseteq B$、$x\in\tpcl[B]{A}$とする。$x\in\tpcl[X]{A}$であるから$A$内の点列で$X$において$x$へ収束するものが存在し、その点列は$B$でも$x$へ収束する。直和内の閉包点は、その点が属する開な成分内でも閉包点であるから、各成分の Fréchet–Urysohn 性を適用することができる。

$q\colon X\to Y$を継承的商写像とし、$A\subseteq Y$、$y\in\tpcl[Y]{A}$とする。§E2.37 定理 1.3 (3)により、$q(x)=y$を満たす$x\in\tpcl[X]{q^{-1}(A)}$が存在する。$q^{-1}(A)$内で$x$へ収束する点列を$q$で送ると、$A$内で$y$へ収束する点列を得る。▨

証明.$Y=A\cup\{x\}$とおくと、§E2.12 命題 4.7 (1)により$A$は$Y$で閉でない。$Y$はコンパクト生成であるから、コンパクト部分集合$K\subseteq Y$で$A\cap K$が$K$で閉でないものが存在する。$x\notin K$ならば$A\cap K=K$となるので、$x\in K$である。したがって$A\cap K=K\setminus\{x\}$であり、その閉包へ加わる点は$x$だけである。非閉性から$x\in\tpcl[K]{K\setminus\{x\}}$を得る。▨

証明.補題 3.6と命題 1.4により、(1)は(2)を導く。逆に$A\subseteq X$、$x\in\tpcl[X]{A}\setminus A$とし、部分空間$A\cup\{x\}$をとる。この部分空間で$A$は閉でないから、列型性によって$A$内から$x$へ収束する点列が存在する。$x\in A$の場合は定値列をとればよい。

$X$が Fréchet–Urysohn であり、$x\in\tpcl[X]{A}$とする。$x_n\in A$、$x_n\to x$となる点列をとり、$u(1/n)=x_n$、$u(0)=x$と定める。コピー$\{u\}\times S$の点$(u,0)$は$q_S^{-1}(A)$の閉包に属し、$q_S(u,0)=x$である。連続性から逆の包含も成り立つので、§E2.37 定理 1.3 (3)により$q_S$は継承的商写像である。

補題 3.2により(3)は(5)を導き、後者は(4)を導く。距離空間の第一可算性、命題 1.4および補題 3.6により、距離空間の継承的商像は Fréchet–Urysohn である。

補題 3.6と命題 1.4により、Fréchet–Urysohn 空間のすべての部分空間はコンパクト生成である。逆に$X$を Hausdorff とし、$X$のすべての部分空間がコンパクト生成であると仮定する。$A\subseteq X$、$x\in\tpcl[X]{A}\setminus A$に対して$Z=A\cup\{x\}$とおく。$Z$は Hausdorff であり、$x\in\tpcl[Z]{A}$である。

空でない$Z$の開集合$U$で$x\notin\tpcl[Z]{U}$を満たすものからなる、互いに素な族全体を包含で順序づける。空の族が属し、鎖の和集合も互いに素な族であるから、§E1.20 定理 2.1 (3)により極大な族$\mathcal U$が存在する。$B=\bigcup\mathcal U\subseteq A$とおく。$x\notin\tpcl[Z]{B}$ならば、$B$と交わらない$x$の開近傍$W$と、$y\in W\setminus\{x\}$を取ることができる。Hausdorff 性により、$x$と$y$の互いに素な開近傍$H,V$を取る。$O=W\cap V$は空でない開集合であり、$H\cap O=\emptyset$により$x\notin\tpcl[Z]{O}$である。$O$は$\mathcal U$のどの元とも交わらないから、$\mathcal U\cup\{O\}$は$\mathcal U$の真の拡大となり、極大性に反する。したがって$x\in\tpcl[Z]{B}$である。

補題 3.7により、コンパクト集合$K\subseteq B\cup\{x\}$で$x\in K\cap\tpcl[Z]{K\setminus\{x\}}$となるものを取る。$K$と交わる$\mathcal U$の元全体を$\mathcal I$とおく。$\mathcal I$が有限ならば、各$U\in\mathcal I$と交わらない$x$の開近傍の有限共通部分は$K\setminus\{x\}$と交わらず、$x\in\tpcl[Z]{K\setminus\{x\}}$に反する。ゆえに$\mathcal I$は無限であり、相異なる$U_n\in\mathcal I$と$a_n\in U_n\cap K$を$n\in\NN$について選ぶことができる。

$x$の任意の$Z$における開近傍$W$に対して、$\{W\}\cup\mathcal U$は$K$の開被覆である。コンパクト性により、ある$V_1,\ldots,V_r\in\mathcal U$について$K\subseteq W\cup V_1\cup\cdots\cup V_r$となる。$a_n\notin W$ならば$U_n\cap V_i\ne\emptyset$となる$i$があり、互いに素であることから$U_n=V_i$である。$U_n$は相異なるから、このような$n$は高々$r$個である。したがって$a_n\to x$であり、各$a_n$は$A$に属する。$x\in A$の場合には定値列があるので、$X$は Fréchet–Urysohn である。▨

証明.$Y$が Fréchet–Urysohn であるとし、$B\subseteq Y$、$y\in\tpcl[Y]{B}$をとる。$y\in B$ならば$y\in q(\tpcl[X]{q^{-1}(B)})$である。$y\notin B$の場合、$b_n\in B$、$b_n\to y$となる点列をとり、$C=\{b_n:n\in\NN\}$とおく。$C\cup\{y\}$はコンパクトであり、Hausdorff 性により閉であるから、$\tpcl[Y]{C}=C\cup\{y\}$である。

$q^{-1}(\{y\})\cap\tpcl[X]{q^{-1}(B)}=\emptyset$と仮定する。連続性から

であり、左辺は$q^{-1}(\{y\})$と交わらない。したがって$q^{-1}(C)$は閉である。商性によって$C$も閉となるが、$y\in\tpcl[Y]{C}\setminus C$に矛盾する。ゆえに§E2.37 定理 1.3 (3)が成り立ち、$q$は継承的商写像である。逆方向は補題 3.6から従う。▨

証明.$X$を空でない第一可算空間とし、$\mathcal B$を空でない開集合全体に離散位相を入れた空間とする。$\mathcal B^{\NN}$の部分空間

は、§E2.14 系 3.2により距離化可能である。同じ族が二点の開近傍基であるならば、二点の開近傍全体は一致するから、$T_0$性によって二点は等しい。したがって$u=(U_n)\in M$にその開近傍基の基点を対応させる写像$f\colon M\to X$が定まる。第一可算性により各点の開近傍基を列にすることができるので、$f$は全射である。

有限列$U_1,\ldots,U_r\in\mathcal B$に対して、最初の$r$項をこの列に固定した$M$の基本開集合を$C(U_1,\ldots,U_r)$とおく。このとき

である。左辺の点は指定された各開近傍に属する。逆に$x\in\bigcap_{i=1}^rU_i$ならば、$x$の可算開近傍基を有限列$U_1,\ldots,U_r$の後へ付け足すと$M$の元となり、その像は$x$である。この像の等式により$f$は開写像である。

$f(u)\in V$となる開集合$V\subseteq X$に対して、$u=(U_n)$が開近傍基であることから$U_n\subseteq V$となる$n$が存在する。$C(U_1,\ldots,U_n)$は$u$を含み、その像は$U_n\subseteq V$に含まれる。したがって$f^{-1}(V)$は開であり、$f$は連続である。$X=\emptyset$の場合は空の距離空間からの写像を取る。

$f\colon M\to X$を距離空間からの連続開全射とする。$x\in X$に対して$f(m)=x$となる$m$と、$m$の可算開近傍基$(V_n)$を取る。各$f(V_n)$は$x$の開近傍であり、$x$の開近傍$U$に対して$V_n\subseteq f^{-1}(U)$となる$n$が存在するから、$f(V_n)\subseteq U$である。ゆえに$(f(V_n))$は$x$の可算開近傍基であり、$X$は第一可算である。▨

証明.(2)$\Rightarrow$(3)は自明である。逆に(3)$\Rightarrow$(2)は定理 3.3により離散位相を入れた空間$H:=\Hom(\omega + 1, S)$を用いて商写像$(\omega + 1)\times H \to S$をとれば、仮定から$X\times (\omega + 1) \times H \to (\omega + 1) \times H$は閉写像であり、よってその商である$X\times S\to S$も閉であることがわかる。残っていることは(1)$\Leftrightarrow$(3)を示すことである。

(1)$\Rightarrow$(3)を示す。$F\subset X\times (\omega + 1)$を閉集合とする。$I:=\pr_{\omega + 1}(F)\cap \omega$が有限集合であれば閉なので無限集合であると仮定する。各$n\in I$に対して$(x_n, n)\in F$となる点$x_n\in X$をとれば、$X$が可算コンパクトであることと$I$が無限集合であることから、点列$(x_n)_{n\in I}$は集積点$x\in X$を持つ。このとき、$(x, \omega)$は$X\times (\omega + 1)$の点列$((x_n, n))_{n\in I}$の集積点であり、$F$が閉であることから$(x, \omega)\in F$となる。よって$\omega \in \pr_{\omega + 1}(F)$となり、$\pr_{\omega + 1}(F)$は閉である。

(3)$\Rightarrow$(1)の対偶を示す。$(C_n)_{n\in \omega}$を有限交差性を持つ閉部分集合の族であって$\bigcap_{n\in \omega}C_n=\emptyset$となるものとする。このとき、$C:=\bigcup_{n\in\omega}\left(\bigcap_{k\leq n}C_k\right)\times \{n\}\subset X\times (\omega + 1)$は閉である。実際、任意の$x\in X$に対し、$\bigcap_{n\in \omega}C_n=\emptyset$であることから、ある$N$が存在して$x\not\in \bigcap_{k\leq N}C_k$が成り立つ。このとき$(X\setminus \bigcap_{k\leq N}C_k)\times (N, \omega]$は$(x, \omega)$を含み$C$と交わらない開集合である。よって$C$は閉である。一方、有限交差性から$\pr_{\omega + 1}(C) = \omega$となるが、これは$\omega + 1$の閉集合でない。以上で示された。▨

証明. 異なる孤立点はそれぞれの一点開集合で分離される。$*$と$s_{n,m}$は、$f(n)>m$を満たす$U_f$と$\{s_{n,m}\}$で分離されるから、$S_\omega$は Hausdorff である。

$A\subseteq S_\omega$、$*\in\tpcl{A}\setminus A$とする。各枝で$A\cap\{s_{n,m}:m\in\NN\}$が有限ならば、各$f(n)$をその枝の$A$の点の添字より大きくとることによって$U_f\cap A=\emptyset$となる。したがって、ある枝に$A$の点が無限個存在する。その枝で添字を狭義増加させた点列は$*$へ収束する。孤立点が$\tpcl{A}$に属するならばその点は$A$に属するから、定値列を用いればよい。ゆえに$S_\omega$は Fréchet–Urysohn である。

$(V_j)_{j\in\NN}$が$*$の可算近傍基であると仮定する。各$j$に対して$s_{j,m_j}\in V_j$となる$m_j$をとり、$f(j)=m_j+1$とおく。どの$V_j$も$U_f$に含まれず、近傍基の性質に矛盾する。▨

証明.$K$が無限本の枝に交わると仮定し、異なる枝から一点ずつ選んだ無限集合$D\subseteq K$をとる。各枝の選んだ点を除くように$f$をとれば$U_f\cap D=\emptyset$となり、他の点は孤立点であるから$D$は$S_\omega$で閉である。したがって$D$は$K$の閉部分空間としてコンパクトである。一方、$D$は無限離散空間であり、一点集合による開被覆は有限部分被覆をもたない。これは矛盾である。▨

証明.$D$内の点列$(z_j)$をとる。ある枝$\{x_{n,m}:m\in\NN\}$に属する項が無限個あるならば、$N>n$を満たす$W_{N,f}$はそのすべての項を除くから、$(z_j)$は$*$へ収束しない。どの枝に属する項も有限個であるならば、各枝について、その枝に現れる項の第二添字より大きい$f(n)$をとることができる。このとき$W_{1,f}$は点列のすべての項を除くから、やはり$*$へ収束しない。▨

証明. 異なる枝の点は互いに素な枝近傍で分離される。同じ枝の$x_n$と$x_{n,m}$は$V_{n,M}$、$M>m$と一点集合で分離される。$*$と第$n$枝の点は$W_{N,f}$、$N>n$と枝近傍で分離され、孤立点どうしも一点集合で分離される。したがって$S_2$は Hausdorff である。

定義に用いた各収束列空間は距離空間であり列型であるから、補題 3.1により$S_2$は列型である。各$x_{n,m}\to x_n$により、$D$の点列の極限全体は$D\cup\{x_n:n\in\NN\}$を含む。補題 5.5により$*$は含まれず、これで極限全体が確定する。$x_n\to *$により、もう一度点列の極限を加えると$S_2$全体を得る。一方、各$W_{N,f}$は$D$と交わるから$*\in\tpcl{D}$である。$D$内から$*$へ収束する点列は存在しないので、$S_2$は Fréchet–Urysohn ではない。▨

証明.$\operatorname{scl}_X(A)\ne\tpcl[X]{A}$となる$A\subseteq X$を取る。$\operatorname{scl}_X(A)$が閉ならば$\tpcl[X]{A}\subseteq\operatorname{scl}_X(A)$となるので、この列閉包は閉でない。列型性により、$y_j\in\operatorname{scl}_X(A)$、$y_j\to x\notin\operatorname{scl}_X(A)$となる列が存在する。$y_j\in A$となる項が無限個あれば、その部分列によって$x\in\operatorname{scl}_X(A)$となる。したがって有限個の項を除き、$y_j\notin A$とすることができる。Hausdorff 性により、$x$を含まない任意の有限集合の外に尾部があるから、相異なる項の部分列へ移り、$(y_j)$自身を相異なる点の列としてよい。

$H_0=X$とおく。$H_{n-1}$が$x$の開近傍として得られたとき、以前の添字より大きい$j_n$を選び、$x_n=y_{j_n}\in H_{n-1}$とする。Hausdorff 性により、$H_{n-1}$に含まれる$x$と$x_n$の互いに素な開近傍$H_n,V_n$を取る。$i<n$ならば$V_n\subseteq H_i$であり、$H_i\cap V_i=\emptyset$であるから、$V_n$は互いに素である。

$x_n\in\operatorname{scl}_X(A)\setminus A$であるから、$A$内から$x_n$へ収束する列を取ることができる。その尾部は$V_n$に含まれ、任意の有限部分集合を有限個の項を除いて避ける。したがって相異なる項の部分列を取り、$x_{n,m}\in A\cap V_n$、$x_{n,m}\to x_n$とすることができる。▨

証明.$X$が Fréchet–Urysohn ならば、補題 3.6により任意の部分空間$Y$も Fréchet–Urysohn であり、命題 2.2により$sY=Y$である。命題 5.6によって$S_2$は Fréchet–Urysohn でないから、$sY$と同相にならない。

$X$が Fréchet–Urysohn でないとし、補題 5.7の$A,x,x_n,V_n,x_{n,m}$を取る。$S=\{0\}\cup\{1/n:n\in\NN\}\subseteq\R$とし、部分空間

に対して、$S_2$の$*$、$x_n$、$x_{n,m}$をそれぞれ$Y$の$x$、$x_n$、$x_{n,m}$に送る全単射を$g\colon S_2\to Y$とする。

各枝$B_n=\{x_n\}\cup\{x_{n,m}:m\in\NN\}$は$V_n\cap Y$に等しいから$Y$で開である。補題 1.3と§E2.19 定理 6.8により、$0\mapsto x_n$、$1/m\mapsto x_{n,m}$は$S$から$B_n$への同相写像である。したがって$x_{n,m}$へ収束する列は最終的にその点に等しく、$x_n$へ収束する列は最終的に$B_n$に属し、その枝の収束列空間で$x_n$へ収束する。これらの条件は$S_2$の対応する点への収束条件と一致する。

$Y$内の列$(z_j)$が$x$へ収束するとする。$z_j\in\{x_{n,m}:n,m\in\NN\}\subseteq A$となる項が無限個あれば、その部分列によって$x\in\operatorname{scl}_X(A)$となるから、そのような項は有限個である。ゆえに$(z_j)$は最終的に$T=\{x\}\cup\{x_n:n\in\NN\}$に属する。再び§E2.19 定理 6.8により、$0\mapsto x$、$1/n\mapsto x_n$は$S$から$T$への同相写像である。したがって$x$への収束は、最終的に$T$に属し、各有限集合$\{x_1,\ldots,x_N\}$を有限個の項を除いて避けることと同値である。$S_2$でも補題 5.5により$*$へ収束する列の孤立点の項は有限個であり、残る列の収束条件は$W_{N,f}$の記述から同じである。